Precálculo Ejemplos

$f (x) = - x^{2} - 4 x + 1$

Paso 1

Obtén las intersecciones con x.

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Paso 1.1

Para obtener la(s) intersección(es) con x, sustituye $0$ por $y$ y resuelve para $x$ .

$0 = - x^{2} - 4 x + 1$

Paso 1.2

Resuelve la ecuación.

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Paso 1.2.1

Reescribe la ecuación como $- x^{2} - 4 x + 1 = 0$ .

$- x^{2} - 4 x + 1 = 0$

Paso 1.2.2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 1.2.3

Sustituye los valores $a = - 1$ , $b = - 4$ y $c = 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot 1)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.2.4

Simplifica.

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Paso 1.2.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.4.1.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 1 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot - 1 \cdot 1$ .

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Paso 1.2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.2.4.1.2.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.2.4.1.3

Suma $16$ y $4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.2.4.1.4

Reescribe $20$ como $2^{2} \cdot 5$ .

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Paso 1.2.4.1.4.1

Factoriza $4$ de $20$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.2.4.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.2.4.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.2.4.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{- 2}$

Paso 1.2.4.3

Simplifica $\frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{- 2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{5}}{- 1}$

Paso 1.2.4.4

Mueve el negativo del denominador de $\frac{2 \pm \sqrt{5}}{- 1}$ .

$x = - 1 \cdot (2 \pm \sqrt{5})$

Paso 1.2.4.5

Reescribe $- 1 \cdot (2 \pm \sqrt{5})$ como $- (2 \pm \sqrt{5})$ .

$x = - (2 \pm \sqrt{5})$

Paso 1.2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 1.2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.5.1.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 1 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot - 1 \cdot 1$ .

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Paso 1.2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.2.5.1.2.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.2.5.1.3

Suma $16$ y $4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.2.5.1.4

Reescribe $20$ como $2^{2} \cdot 5$ .

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Paso 1.2.5.1.4.1

Factoriza $4$ de $20$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.2.5.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.2.5.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.2.5.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{- 2}$

Paso 1.2.5.3

Simplifica $\frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{- 2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{5}}{- 1}$

Paso 1.2.5.4

Mueve el negativo del denominador de $\frac{2 \pm \sqrt{5}}{- 1}$ .

$x = - 1 \cdot (2 \pm \sqrt{5})$

Paso 1.2.5.5

Reescribe $- 1 \cdot (2 \pm \sqrt{5})$ como $- (2 \pm \sqrt{5})$ .

$x = - (2 \pm \sqrt{5})$

Paso 1.2.5.6

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = - (2 + \sqrt{5})$

Paso 1.2.5.7

Aplica la propiedad distributiva.

$x = - 1 \cdot 2 - \sqrt{5}$

Paso 1.2.5.8

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$x = - 2 - \sqrt{5}$

Paso 1.2.6

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 1.2.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.6.1.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 1 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.2.6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot - 1 \cdot 1$ .

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Paso 1.2.6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.2.6.1.2.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.2.6.1.3

Suma $16$ y $4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.2.6.1.4

Reescribe $20$ como $2^{2} \cdot 5$ .

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Paso 1.2.6.1.4.1

Factoriza $4$ de $20$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.2.6.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.2.6.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.2.6.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{- 2}$

Paso 1.2.6.3

Simplifica $\frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{- 2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{5}}{- 1}$

Paso 1.2.6.4

Mueve el negativo del denominador de $\frac{2 \pm \sqrt{5}}{- 1}$ .

$x = - 1 \cdot (2 \pm \sqrt{5})$

Paso 1.2.6.5

Reescribe $- 1 \cdot (2 \pm \sqrt{5})$ como $- (2 \pm \sqrt{5})$ .

$x = - (2 \pm \sqrt{5})$

Paso 1.2.6.6

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = - (2 - \sqrt{5})$

Paso 1.2.6.7

Aplica la propiedad distributiva.

$x = - 1 \cdot 2 + \sqrt{5}$

Paso 1.2.6.8

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$x = - 2 + \sqrt{5}$

Paso 1.2.6.9

Multiplica $- - \sqrt{5}$ .

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Paso 1.2.6.9.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x = - 2 + 1 \sqrt{5}$

Paso 1.2.6.9.2

Multiplica $\sqrt{5}$ por $1$ .

$x = - 2 + \sqrt{5}$

Paso 1.2.7

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - 2 - \sqrt{5}, - 2 + \sqrt{5}$

Paso 1.3

Intersección(es) con x en forma de punto.

Intersección(es) con x: $(- 2 - \sqrt{5}, 0), (- 2 + \sqrt{5}, 0)$

Paso 2

Obtén las intersecciones con y.

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Paso 2.1

Para obtener la(s) intersección(es) con y, sustituye $0$ por $x$ y resuelve para $y$ .

$y = - {(0)}^{2} - 4 \cdot 0 + 1$

Paso 2.2

Resuelve la ecuación.

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Paso 2.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = - 0^{2} - 4 \cdot 0 + 1$

Paso 2.2.2

Elimina los paréntesis.

$y = - {(0)}^{2} - 4 \cdot 0 + 1$

Paso 2.2.3

Simplifica $- {(0)}^{2} - 4 \cdot 0 + 1$ .

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Paso 2.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.3.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$y = - 0 - 4 \cdot 0 + 1$

Paso 2.2.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$y = 0 - 4 \cdot 0 + 1$

Paso 2.2.3.1.3

Multiplica $- 4$ por $0$ .

$y = 0 + 0 + 1$

Paso 2.2.3.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 2.2.3.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$y = 0 + 1$

Paso 2.2.3.2.2

Suma $0$ y $1$ .

$y = 1$

Paso 2.3

Intersección(es) con y en forma de punto.

Intersección(es) con y: $(0, 1)$

Paso 3

Enumera las intersecciones.

Intersección(es) con x: $(- 2 - \sqrt{5}, 0), (- 2 + \sqrt{5}, 0)$

Intersección(es) con y: $(0, 1)$

Paso 4