Precálculo Ejemplos

$x^{4} + 6 x^{3} + 7 x^{2} - 6 x - 8$

Paso 1

Establece $x^{4} + 6 x^{3} + 7 x^{2} - 6 x - 8$ igual a $0$ .

$x^{4} + 6 x^{3} + 7 x^{2} - 6 x - 8 = 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1.1

Reagrupa los términos.

$6 x^{3} - 6 x + x^{4} + 7 x^{2} - 8 = 0$

Paso 2.1.2

Factoriza $6 x$ de $6 x^{3} - 6 x$ .

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Paso 2.1.2.1

Factoriza $6 x$ de $6 x^{3}$ .

$6 x (x^{2}) - 6 x + x^{4} + 7 x^{2} - 8 = 0$

Paso 2.1.2.2

Factoriza $6 x$ de $- 6 x$ .

$6 x (x^{2}) + 6 x (- 1) + x^{4} + 7 x^{2} - 8 = 0$

Paso 2.1.2.3

Factoriza $6 x$ de $6 x (x^{2}) + 6 x (- 1)$ .

$6 x (x^{2} - 1) + x^{4} + 7 x^{2} - 8 = 0$

Paso 2.1.3

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$6 x (x^{2} - 1^{2}) + x^{4} + 7 x^{2} - 8 = 0$

Paso 2.1.4

Factoriza.

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Paso 2.1.4.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$6 x ((x + 1) (x - 1)) + x^{4} + 7 x^{2} - 8 = 0$

Paso 2.1.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$6 x (x + 1) (x - 1) + x^{4} + 7 x^{2} - 8 = 0$

Paso 2.1.5

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$6 x (x + 1) (x - 1) + {(x^{2})}^{2} + 7 x^{2} - 8 = 0$

Paso 2.1.6

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$6 x (x + 1) (x - 1) + u^{2} + 7 u - 8 = 0$

Paso 2.1.7

Factoriza $u^{2} + 7 u - 8$ con el método AC.

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Paso 2.1.7.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 8$ y cuya suma es $7$ .

$- 1, 8$

Paso 2.1.7.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$6 x (x + 1) (x - 1) + (u - 1) (u + 8) = 0$

Paso 2.1.8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$6 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 1) (x^{2} + 8) = 0$

Paso 2.1.9

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$6 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 1^{2}) (x^{2} + 8) = 0$

Paso 2.1.10

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$6 x (x + 1) (x - 1) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 8) = 0$

Paso 2.1.11

Factoriza $(x + 1) (x - 1)$ de $6 x (x + 1) (x - 1) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 8)$ .

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Paso 2.1.11.1

Factoriza $(x + 1) (x - 1)$ de $6 x (x + 1) (x - 1)$ .

$(x + 1) (x - 1) (6 x) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 8) = 0$

Paso 2.1.11.2

Factoriza $(x + 1) (x - 1)$ de $(x + 1) (x - 1) (6 x) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 8)$ .

$(x + 1) (x - 1) (6 x + x^{2} + 8) = 0$

Paso 2.1.12

Sea $u = x$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x$ .

$(x + 1) (x - 1) (6 u + u^{2} + 8) = 0$

Paso 2.1.13

Factoriza $6 u + u^{2} + 8$ con el método AC.

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Paso 2.1.13.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $8$ y cuya suma es $6$ .

$2, 4$

Paso 2.1.13.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x + 1) (x - 1) ((u + 2) (u + 4)) = 0$

Paso 2.1.14

Factoriza.

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Paso 2.1.14.1

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x$ .

$(x + 1) (x - 1) ((x + 2) (x + 4)) = 0$

Paso 2.1.14.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x + 1) (x - 1) (x + 2) (x + 4) = 0$

Paso 2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

$x + 4 = 0$

Paso 2.3

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 2.3.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 2.4

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 2.4.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 2.5

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 2.5.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 2.6

Establece $x + 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.6.1

Establece $x + 4$ igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Paso 2.6.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 4$

Paso 2.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 1) (x - 1) (x + 2) (x + 4) = 0$ verdadera.

$x = - 1, 1, - 2, - 4$

Paso 3