Precálculo Ejemplos

$x^{4} - 20 x^{2} + 64 = 0$

Paso 1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

${(x^{2})}^{2} - 20 x^{2} + 64 = 0$

Paso 1.2

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$u^{2} - 20 u + 64 = 0$

Paso 1.3

Factoriza $u^{2} - 20 u + 64$ con el método AC.

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Paso 1.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $64$ y cuya suma es $- 20$ .

$- 16, - 4$

Paso 1.3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 16) (u - 4) = 0$

Paso 1.4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$(x^{2} - 16) (x^{2} - 4) = 0$

Paso 1.5

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$(x^{2} - 4^{2}) (x^{2} - 4) = 0$

Paso 1.6

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 4$ .

$(x + 4) (x - 4) (x^{2} - 4) = 0$

Paso 1.7

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$(x + 4) (x - 4) (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Paso 1.8

Factoriza.

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Paso 1.8.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$(x + 4) (x - 4) ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Paso 1.8.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x + 4) (x - 4) (x + 2) (x - 2) = 0$

Paso 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Paso 3

Establece $x + 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.1

Establece $x + 4$ igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Paso 3.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 4$

Paso 4

Establece $x - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $x - 4$ igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Paso 4.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 5

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 5.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 6

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 6.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 4) (x - 4) (x + 2) (x - 2) = 0$ verdadera.

$x = - 4, 4, - 2, 2$