Precálculo Ejemplos

$4 y^{2} + 32 x - 28 y - 15 = 0$

Paso 1

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.1

Resta $32 x$ de ambos lados de la ecuación.

$4 y^{2} - 28 y - 15 = - 32 x$

Paso 1.2

Suma $15$ a ambos lados de la ecuación.

$4 y^{2} - 28 y = - 32 x + 15$

Paso 2

Completa el cuadrado.

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Paso 2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 4$

$b = - 28$

$c = 0 = - 32 x + 15$

Paso 2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e = - 32 x + 15$

Paso 2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 28}{2 \cdot 4}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común de $- 28$ y $2$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 28$ .

$d = \frac{2 \cdot - 14}{2 \cdot 4}$

Paso 2.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 14}{2 (4)}$

Paso 2.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 14}{2 \cdot 4}$

Paso 2.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 14}{4}$

Paso 2.3.2.2

Cancela el factor común de $- 14$ y $4$ .

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Paso 2.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $- 14$ .

$d = \frac{2 (- 7)}{4}$

Paso 2.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 7}{2 \cdot 2}$

Paso 2.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 7}{2 \cdot 2}$

Paso 2.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 7}{2}$

Paso 2.3.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$d = - \frac{7}{2}$

Paso 2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 28)}^{2}}{4 \cdot 4}$

Paso 2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.2.1.1

Eleva $- 28$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{784}{4 \cdot 4}$

Paso 2.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$e = 0 - \frac{784}{16}$

Paso 2.4.2.1.3

Divide $784$ por $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 49$

Paso 2.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $49$ .

$e = 0 - 49$

Paso 2.4.2.2

Resta $49$ de $0$ .

$e = - 49$

Paso 2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $4 {(y - \frac{7}{2})}^{2} - 49$ .

$4 {(y - \frac{7}{2})}^{2} - 49 = - 32 x + 15$

Paso 3

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Suma $49$ a ambos lados de la ecuación.

$4 {(y - \frac{7}{2})}^{2} = - 32 x + 15 + 49$

Paso 3.2

Suma $15$ y $49$ .

$4 {(y - \frac{7}{2})}^{2} = - 32 x + 64$

Paso 4

Divide cada término en $4 {(y - \frac{7}{2})}^{2} = - 32 x + 64$ por $4$ y simplifica.

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Paso 4.1

Divide cada término en $4 {(y - \frac{7}{2})}^{2} = - 32 x + 64$ por $4$ .

$\frac{4 {(y - \frac{7}{2})}^{2}}{4} = \frac{- 32 x}{4} + \frac{64}{4}$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 {(y - \frac{7}{2})}^{2}}{4} = \frac{- 32 x}{4} + \frac{64}{4}$

Paso 4.2.1.2

Divide ${(y - \frac{7}{2})}^{2}$ por $1$ .

${(y - \frac{7}{2})}^{2} = \frac{- 32 x}{4} + \frac{64}{4}$

Paso 4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.1.1

Cancela el factor común de $- 32$ y $4$ .

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Paso 4.3.1.1.1

Factoriza $4$ de $- 32 x$ .

${(y - \frac{7}{2})}^{2} = \frac{4 (- 8 x)}{4} + \frac{64}{4}$

Paso 4.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.1.1.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

${(y - \frac{7}{2})}^{2} = \frac{4 (- 8 x)}{4 (1)} + \frac{64}{4}$

Paso 4.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

${(y - \frac{7}{2})}^{2} = \frac{4 (- 8 x)}{4 \cdot 1} + \frac{64}{4}$

Paso 4.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

${(y - \frac{7}{2})}^{2} = \frac{- 8 x}{1} + \frac{64}{4}$

Paso 4.3.1.1.2.4

Divide $- 8 x$ por $1$ .

${(y - \frac{7}{2})}^{2} = - 8 x + \frac{64}{4}$

Paso 4.3.1.2

Divide $64$ por $4$ .

${(y - \frac{7}{2})}^{2} = - 8 x + 16$

Paso 5

Factoriza.

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Paso 5.1

Factoriza $8$ de $- 8 x + 16$ .

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Paso 5.1.1

Factoriza $8$ de $- 8 x$ .

${(y - \frac{7}{2})}^{2} = 8 (- x) + 16$

Paso 5.1.2

Factoriza $8$ de $16$ .

${(y - \frac{7}{2})}^{2} = 8 (- x) + 8 (2)$

Paso 5.1.3

Factoriza $8$ de $8 (- x) + 8 (2)$ .

${(y - \frac{7}{2})}^{2} = 8 (- x + 2)$

Paso 5.2

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

${(y - \frac{7}{2})}^{2} = 8 (- (x) + 2)$

Paso 5.3

Reescribe $2$ como $- 1 (- 2)$ .

${(y - \frac{7}{2})}^{2} = 8 (- (x) - 1 (- 2))$

Paso 5.4

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- 2)$ .

${(y - \frac{7}{2})}^{2} = 8 (- (x - 2))$

Paso 5.5

Multiplica $- 1$ por $8$ .

${(y - \frac{7}{2})}^{2} = - 8 (x - 2)$