Precálculo Ejemplos

$27^{- a} \cdot 81^{a} = 243^{3 a + 3}$

Paso 1

Reescribe $27$ como $3^{3}$ .

${(3^{3})}^{- a} \cdot 81^{a} = 243^{3 a + 3}$

Paso 2

Multiplica los exponentes en ${(3^{3})}^{- a}$ .

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Paso 2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3^{3 (- a)} \cdot 81^{a} = 243^{3 a + 3}$

Paso 2.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$3^{- 3 a} \cdot 81^{a} = 243^{3 a + 3}$

Paso 3

Reescribe $81$ como $3^{4}$ .

$3^{- 3 a} \cdot {(3^{4})}^{a} = 243^{3 a + 3}$

Paso 4

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3^{- 3 a} \cdot 3^{4 a} = 243^{3 a + 3}$

Paso 5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3^{- 3 a + 4 a} = 243^{3 a + 3}$

Paso 6

Suma $- 3 a$ y $4 a$ .

$3^{a} = 243^{3 a + 3}$

Paso 7

Crea expresiones equivalentes en la ecuación que tengan bases iguales.

$3^{a} = 3^{5 (3 a + 3)}$

Paso 8

Como las bases son las mismas, las dos expresiones solo son iguales si los exponentes también son iguales.

$a = 5 (3 a + 3)$

Paso 9

Resuelve $a$

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Paso 9.1

Simplifica $5 (3 a + 3)$ .

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Paso 9.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$a = 5 (3 a) + 5 \cdot 3$

Paso 9.1.2

Multiplica.

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Paso 9.1.2.1

Multiplica $3$ por $5$ .

$a = 15 a + 5 \cdot 3$

Paso 9.1.2.2

Multiplica $5$ por $3$ .

$a = 15 a + 15$

Paso 9.2

Mueve todos los términos que contengan $a$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 9.2.1

Resta $15 a$ de ambos lados de la ecuación.

$a - 15 a = 15$

Paso 9.2.2

Resta $15 a$ de $a$ .

$- 14 a = 15$

Paso 9.3

Divide cada término en $- 14 a = 15$ por $- 14$ y simplifica.

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Paso 9.3.1

Divide cada término en $- 14 a = 15$ por $- 14$ .

$\frac{- 14 a}{- 14} = \frac{15}{- 14}$

Paso 9.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.3.2.1

Cancela el factor común de $- 14$ .

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Paso 9.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 14 a}{- 14} = \frac{15}{- 14}$

Paso 9.3.2.1.2

Divide $a$ por $1$ .

$a = \frac{15}{- 14}$

Paso 9.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.3.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$a = - \frac{15}{14}$

Paso 10

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$a = - \frac{15}{14}$

Forma decimal:

$a = - 1.07142857 \dots$

Forma de número mixto:

$a = - 1 \frac{1}{14}$