Precálculo Ejemplos

$f (x) = 9 x^{2}$

Paso 1

Considera la fórmula del cociente diferencial.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Paso 2

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 2.1

Evalúa la función en $x = x + h$ .

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Paso 2.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $x + h$ en la expresión.

$f (x + h) = 9 {(x + h)}^{2}$

Paso 2.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.1.2.1

Reescribe ${(x + h)}^{2}$ como $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = 9 ((x + h) (x + h))$

Paso 2.1.2.2

Expande $(x + h) (x + h)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = 9 (x (x + h) + h (x + h))$

Paso 2.1.2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = 9 (x \cdot x + x h + h (x + h))$

Paso 2.1.2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = 9 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h)$

Paso 2.1.2.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$f (x + h) = 9 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h)$

Paso 2.1.2.3.1.2

Multiplica $h$ por $h$ .

$f (x + h) = 9 (x^{2} + x h + h x + h^{2})$

Paso 2.1.2.3.2

Suma $x h$ y $h x$ .

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Paso 2.1.2.3.2.1

Reordena $x$ y $h$ .

$f (x + h) = 9 (x^{2} + h x + h x + h^{2})$

Paso 2.1.2.3.2.2

Suma $h x$ y $h x$ .

$f (x + h) = 9 (x^{2} + 2 h x + h^{2})$

Paso 2.1.2.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = 9 x^{2} + 9 (2 h x) + 9 h^{2}$

Paso 2.1.2.5

Multiplica $2$ por $9$ .

$f (x + h) = 9 x^{2} + 18 h x + 9 h^{2}$

Paso 2.1.2.6

La respuesta final es $9 x^{2} + 18 h x + 9 h^{2}$ .

$9 x^{2} + 18 h x + 9 h^{2}$

Paso 2.2

Reordena.

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Paso 2.2.1

Mueve $9 x^{2}$ .

$18 h x + 9 h^{2} + 9 x^{2}$

Paso 2.2.2

Reordena $18 h x$ y $9 h^{2}$ .

$9 h^{2} + 18 h x + 9 x^{2}$

Paso 2.3

Obtén los componentes de la definición.

$f (x + h) = 9 h^{2} + 18 h x + 9 x^{2}$

$f (x) = 9 x^{2}$

$f (x + h) = 9 h^{2} + 18 h x + 9 x^{2}$

$f (x) = 9 x^{2}$

Paso 3

Inserta los componentes.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{9 h^{2} + 18 h x + 9 x^{2} - (9 x^{2})}{h}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 4.1.1.1

Reescribe $9 h^{2}$ como ${(3 h)}^{2}$ .

$\frac{{(3 h)}^{2} + 18 h x + 9 x^{2} - 1 \cdot 9 x^{2}}{h}$

Paso 4.1.1.2

Reescribe $9 x^{2}$ como ${(3 x)}^{2}$ .

$\frac{{(3 h)}^{2} + 18 h x + {(3 x)}^{2} - 1 \cdot 9 x^{2}}{h}$

Paso 4.1.1.3

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$18 h x = 2 \cdot (3 h) \cdot (3 x)$

Paso 4.1.1.4

Reescribe el polinomio.

$\frac{{(3 h)}^{2} + 2 \cdot (3 h) \cdot (3 x) + {(3 x)}^{2} - 1 \cdot 9 x^{2}}{h}$

Paso 4.1.1.5

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = 3 h$ y $b = 3 x$ .

$\frac{{(3 h + 3 x)}^{2} - 1 \cdot 9 x^{2}}{h}$

Paso 4.1.2

Reescribe $9 x^{2}$ como ${(3 x)}^{2}$ .

$\frac{{(3 h + 3 x)}^{2} - {(3 x)}^{2}}{h}$

Paso 4.1.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 3 h + 3 x$ y $b = 3 x$ .

$\frac{(3 h + 3 x + 3 x) (3 h + 3 x - (3 x))}{h}$

Paso 4.1.4

Simplifica.

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Paso 4.1.4.1

Suma $3 x$ y $3 x$ .

$\frac{(3 h + 6 x) (3 h + 3 x - (3 x))}{h}$

Paso 4.1.4.2

Factoriza $3$ de $3 h + 6 x$ .

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Paso 4.1.4.2.1

Factoriza $3$ de $3 h$ .

$\frac{(3 h + 6 x) (3 h + 3 x - (3 x))}{h}$

Paso 4.1.4.2.2

Factoriza $3$ de $6 x$ .

$\frac{(3 h + 3 (2 x)) (3 h + 3 x - (3 x))}{h}$

Paso 4.1.4.2.3

Factoriza $3$ de $3 h + 3 (2 x)$ .

$\frac{3 (h + 2 x) (3 h + 3 x - (3 x))}{h}$

Paso 4.1.4.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{3 (h + 2 x) (3 h + 3 x - 3 x)}{h}$

Paso 4.1.5

Combina los términos opuestos en $3 h + 3 x - 3 x$ .

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Paso 4.1.5.1

Resta $3 x$ de $3 x$ .

$\frac{3 (h + 2 x) (3 h + 0)}{h}$

Paso 4.1.5.2

Suma $3 h$ y $0$ .

$\frac{3 (h + 2 x) (3 h)}{h}$

$\frac{3 (h + 2 x) \cdot 3 h}{h}$

Paso 4.1.6

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{9 (h + 2 x) h}{h}$

Paso 4.2

Simplifica los términos.

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{9 (h + 2 x) h}{h}$

Paso 4.2.1.2

Divide $9 (h + 2 x)$ por $1$ .

$9 (h + 2 x)$

Paso 4.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$9 h + 9 (2 x)$

Paso 4.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 4.2.3.1

Multiplica $2$ por $9$ .

$9 h + 18 x$

Paso 4.2.3.2

Reordena $9 h$ y $18 x$ .

$18 x + 9 h$

Paso 5