Precálculo Ejemplos

$10 y^{2} - 20 x^{2} + 60 y + 160 x - 225 = 0$

Paso 1

Suma $225$ a ambos lados de la ecuación.

$10 y^{2} - 20 x^{2} + 60 y + 160 x = 225$

Paso 2

Completa el cuadrado de $10 y^{2} + 60 y$ .

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Paso 2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 10$

$b = 60$

$c = 0$

Paso 2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{60}{2 \cdot 10}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común de $60$ y $2$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $60$ .

$d = \frac{2 \cdot 30}{2 \cdot 10}$

Paso 2.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 10$ .

$d = \frac{2 \cdot 30}{2 (10)}$

Paso 2.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 30}{2 \cdot 10}$

Paso 2.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{30}{10}$

Paso 2.3.2.2

Cancela el factor común de $30$ y $10$ .

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Paso 2.3.2.2.1

Factoriza $10$ de $30$ .

$d = \frac{10 \cdot 3}{10}$

Paso 2.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.2.2.2.1

Factoriza $10$ de $10$ .

$d = \frac{10 \cdot 3}{10 (1)}$

Paso 2.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{10 \cdot 3}{10 \cdot 1}$

Paso 2.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{3}{1}$

Paso 2.3.2.2.2.4

Divide $3$ por $1$ .

$d = 3$

Paso 2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{60^{2}}{4 \cdot 10}$

Paso 2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.2.1.1

Eleva $60$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{3600}{4 \cdot 10}$

Paso 2.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $10$ .

$e = 0 - \frac{3600}{40}$

Paso 2.4.2.1.3

Divide $3600$ por $40$ .

$e = 0 - 1 \cdot 90$

Paso 2.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $90$ .

$e = 0 - 90$

Paso 2.4.2.2

Resta $90$ de $0$ .

$e = - 90$

Paso 2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $10 {(y + 3)}^{2} - 90$ .

$10 {(y + 3)}^{2} - 90$

Paso 3

Sustituye $10 {(y + 3)}^{2} - 90$ por $10 y^{2} + 60 y$ en la ecuación $10 y^{2} - 20 x^{2} + 60 y + 160 x = 225$ .

$10 {(y + 3)}^{2} - 90 - 20 x^{2} + 160 x = 225$

Paso 4

Mueve $- 90$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $90$ a ambos lados.

$10 {(y + 3)}^{2} - 20 x^{2} + 160 x = 225 + 90$

Paso 5

Completa el cuadrado de $- 20 x^{2} + 160 x$ .

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Paso 5.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - 20$

$b = 160$

$c = 0$

Paso 5.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 5.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 5.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{160}{2 \cdot - 20}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $160$ y $2$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $160$ .

$d = \frac{2 \cdot 80}{2 \cdot - 20}$

Paso 5.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot - 20$ .

$d = \frac{2 \cdot 80}{2 (- 20)}$

Paso 5.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 80}{2 \cdot - 20}$

Paso 5.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{80}{- 20}$

Paso 5.3.2.2

Cancela el factor común de $80$ y $- 20$ .

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Paso 5.3.2.2.1

Factoriza $20$ de $80$ .

$d = \frac{20 (4)}{- 20}$

Paso 5.3.2.2.2

Mueve el negativo del denominador de $\frac{4}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 4$

Paso 5.3.2.3

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$d = - 4$

Paso 5.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 5.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{160^{2}}{4 \cdot - 20}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.2.1.1

Eleva $160$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{25600}{4 \cdot - 20}$

Paso 5.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 20$ .

$e = 0 - \frac{25600}{- 80}$

Paso 5.4.2.1.3

Divide $25600$ por $- 80$ .

$e = 0 - - 320$

Paso 5.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 320$ .

$e = 0 + 320$

Paso 5.4.2.2

Suma $0$ y $320$ .

$e = 320$

Paso 5.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- 20 {(x - 4)}^{2} + 320$ .

$- 20 {(x - 4)}^{2} + 320$

Paso 6

Sustituye $- 20 {(x - 4)}^{2} + 320$ por $- 20 x^{2} + 160 x$ en la ecuación $10 y^{2} - 20 x^{2} + 60 y + 160 x = 225$ .

$10 {(y + 3)}^{2} - 20 {(x - 4)}^{2} + 320 = 225 + 90$

Paso 7

Mueve $320$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $320$ a ambos lados.

$10 {(y + 3)}^{2} - 20 {(x - 4)}^{2} = 225 + 90 - 320$

Paso 8

Simplifica $225 + 90 - 320$ .

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Paso 8.1

Suma $225$ y $90$ .

$10 {(y + 3)}^{2} - 20 {(x - 4)}^{2} = 315 - 320$

Paso 8.2

Resta $320$ de $315$ .

$10 {(y + 3)}^{2} - 20 {(x - 4)}^{2} = - 5$

Paso 9

Da la vuelta al signo de cada término de la ecuación para que el término del lado derecho sea positivo.

$- 10 {(y + 3)}^{2} + 20 {(x - 4)}^{2} = 5$

Paso 10

Divide cada término por $5$ para que el lado derecho sea igual a uno.

$- \frac{10 {(y + 3)}^{2}}{5} + \frac{20 {(x - 4)}^{2}}{5} = \frac{5}{5}$

Paso 11

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{{(x - 4)}^{2}}{\frac{1}{4}} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{\frac{1}{2}} = 1$