Precálculo Ejemplos

$25 x^{2} - 16 y^{2} + 100 x + 96 y = 444$

Paso 1

Completa el cuadrado de $25 x^{2} + 100 x$ .

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Paso 1.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 25$

$b = 100$

$c = 0$

Paso 1.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{100}{2 \cdot 25}$

Paso 1.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.2.1

Cancela el factor común de $100$ y $2$ .

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Paso 1.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $100$ .

$d = \frac{2 \cdot 50}{2 \cdot 25}$

Paso 1.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 25$ .

$d = \frac{2 \cdot 50}{2 (25)}$

Paso 1.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 50}{2 \cdot 25}$

Paso 1.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{50}{25}$

Paso 1.3.2.2

Cancela el factor común de $50$ y $25$ .

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Paso 1.3.2.2.1

Factoriza $25$ de $50$ .

$d = \frac{25 \cdot 2}{25}$

Paso 1.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.3.2.2.2.1

Factoriza $25$ de $25$ .

$d = \frac{25 \cdot 2}{25 (1)}$

Paso 1.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{25 \cdot 2}{25 \cdot 1}$

Paso 1.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{2}{1}$

Paso 1.3.2.2.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$d = 2$

Paso 1.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{100^{2}}{4 \cdot 25}$

Paso 1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.2.1.1

Eleva $100$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{10000}{4 \cdot 25}$

Paso 1.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $25$ .

$e = 0 - \frac{10000}{100}$

Paso 1.4.2.1.3

Divide $10000$ por $100$ .

$e = 0 - 1 \cdot 100$

Paso 1.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $100$ .

$e = 0 - 100$

Paso 1.4.2.2

Resta $100$ de $0$ .

$e = - 100$

Paso 1.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $25 {(x + 2)}^{2} - 100$ .

$25 {(x + 2)}^{2} - 100$

Paso 2

Sustituye $25 {(x + 2)}^{2} - 100$ por $25 x^{2} + 100 x$ en la ecuación $25 x^{2} - 16 y^{2} + 100 x + 96 y = 444$ .

$25 {(x + 2)}^{2} - 100 - 16 y^{2} + 96 y = 444$

Paso 3

Mueve $- 100$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $100$ a ambos lados.

$25 {(x + 2)}^{2} - 16 y^{2} + 96 y = 444 + 100$

Paso 4

Completa el cuadrado de $- 16 y^{2} + 96 y$ .

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Paso 4.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - 16$

$b = 96$

$c = 0$

Paso 4.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 4.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{96}{2 \cdot - 16}$

Paso 4.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.2.1

Cancela el factor común de $96$ y $2$ .

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Paso 4.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $96$ .

$d = \frac{2 \cdot 48}{2 \cdot - 16}$

Paso 4.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot - 16$ .

$d = \frac{2 \cdot 48}{2 (- 16)}$

Paso 4.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 48}{2 \cdot - 16}$

Paso 4.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{48}{- 16}$

Paso 4.3.2.2

Cancela el factor común de $48$ y $- 16$ .

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Paso 4.3.2.2.1

Factoriza $16$ de $48$ .

$d = \frac{16 (3)}{- 16}$

Paso 4.3.2.2.2

Mueve el negativo del denominador de $\frac{3}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 3$

Paso 4.3.2.3

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$d = - 3$

Paso 4.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 4.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{96^{2}}{4 \cdot - 16}$

Paso 4.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.4.2.1.1

Eleva $96$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{9216}{4 \cdot - 16}$

Paso 4.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 16$ .

$e = 0 - \frac{9216}{- 64}$

Paso 4.4.2.1.3

Divide $9216$ por $- 64$ .

$e = 0 - - 144$

Paso 4.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 144$ .

$e = 0 + 144$

Paso 4.4.2.2

Suma $0$ y $144$ .

$e = 144$

Paso 4.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- 16 {(y - 3)}^{2} + 144$ .

$- 16 {(y - 3)}^{2} + 144$

Paso 5

Sustituye $- 16 {(y - 3)}^{2} + 144$ por $- 16 y^{2} + 96 y$ en la ecuación $25 x^{2} - 16 y^{2} + 100 x + 96 y = 444$ .

$25 {(x + 2)}^{2} - 16 {(y - 3)}^{2} + 144 = 444 + 100$

Paso 6

Mueve $144$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $144$ a ambos lados.

$25 {(x + 2)}^{2} - 16 {(y - 3)}^{2} = 444 + 100 - 144$

Paso 7

Simplifica $444 + 100 - 144$ .

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Paso 7.1

Suma $444$ y $100$ .

$25 {(x + 2)}^{2} - 16 {(y - 3)}^{2} = 544 - 144$

Paso 7.2

Resta $144$ de $544$ .

$25 {(x + 2)}^{2} - 16 {(y - 3)}^{2} = 400$

Paso 8

Divide cada término por $400$ para que el lado derecho sea igual a uno.

$\frac{25 {(x + 2)}^{2}}{400} - \frac{16 {(y - 3)}^{2}}{400} = \frac{400}{400}$

Paso 9

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{{(x + 2)}^{2}}{16} - \frac{{(y - 3)}^{2}}{25} = 1$