Precálculo Ejemplos

$3 y^{2} - 2 y + x + 1 = 0$

Paso 1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.1.1

Resta $3 y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 y + x + 1 = - 3 y^{2}$

Paso 1.1.2

Suma $2 y$ a ambos lados de la ecuación.

$x + 1 = - 3 y^{2} + 2 y$

Paso 1.1.3

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3 y^{2} + 2 y - 1$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $- 3 y^{2} + 2 y - 1$ .

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Paso 1.2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - 3$

$b = 2$

$c = - 1$

Paso 1.2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 \cdot - 3}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$d = \frac{2}{2 \cdot - 3}$

Paso 1.2.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$d = \frac{1}{- 3}$

Paso 1.2.3.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$d = - \frac{1}{3}$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 1 - \frac{2^{2}}{4 \cdot - 3}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.4.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$e = - 1 - \frac{4}{4 \cdot - 3}$

Paso 1.2.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 3$ .

$e = - 1 - \frac{4}{- 12}$

Paso 1.2.4.2.1.3

Cancela el factor común de $4$ y $- 12$ .

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Paso 1.2.4.2.1.3.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$e = - 1 - \frac{4 (1)}{- 12}$

Paso 1.2.4.2.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.4.2.1.3.2.1

Factoriza $4$ de $- 12$ .

$e = - 1 - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot - 3}$

Paso 1.2.4.2.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$e = - 1 - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot - 3}$

Paso 1.2.4.2.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$e = - 1 - \frac{1}{- 3}$

Paso 1.2.4.2.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e = - 1 - - \frac{1}{3}$

Paso 1.2.4.2.1.5

Multiplica $- - \frac{1}{3}$ .

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Paso 1.2.4.2.1.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e = - 1 + 1 (\frac{1}{3})$

Paso 1.2.4.2.1.5.2

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$e = - 1 + \frac{1}{3}$

Paso 1.2.4.2.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$e = - 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}$

Paso 1.2.4.2.3

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$e = \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}$

Paso 1.2.4.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e = \frac{- 1 \cdot 3 + 1}{3}$

Paso 1.2.4.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.4.2.5.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$e = \frac{- 3 + 1}{3}$

Paso 1.2.4.2.5.2

Suma $- 3$ y $1$ .

$e = \frac{- 2}{3}$

Paso 1.2.4.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e = - \frac{2}{3}$

Paso 1.2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- 3 {(y - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{2}{3}$ .

$- 3 {(y - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{2}{3}$

Paso 1.3

Establece $x$ igual al nuevo lado derecho.

$x = - 3 {(y - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{2}{3}$

Paso 2

Usa la forma de vértice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = - 3$

$h = - \frac{2}{3}$

$k = \frac{1}{3}$

Paso 3

Como el valor de $a$ es negativo, la parábola se abre hacia la izquierda.

Abre hacia la izquierda

Paso 4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3})$

Paso 5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot - 3}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Multiplica $4$ por $- 3$ .

$\frac{1}{- 12}$

Paso 5.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{12}$

Paso 6

Obtén el foco.

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Paso 6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada x $h$ si la parábola abre hacia la izquierda o hacia la derecha.

$(h + p, k)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- \frac{3}{4}, \frac{1}{3})$

Paso 7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$y = \frac{1}{3}$

Paso 8

Obtén la directriz.

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Paso 8.1

La directriz de una parábola es la recta vertical que se obtiene al restar $p$ de la coordenada x $h$ del vértice si la parábola abre hacia la izquierda o hacia la derecha.

$x = h - p$

Paso 8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $h$ en la fórmula y simplifica.

$x = - \frac{7}{12}$

Paso 9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia la izquierda

Vértice: $(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3})$

Foco: $(- \frac{3}{4}, \frac{1}{3})$

Eje de simetría: $y = \frac{1}{3}$

Directriz: $x = - \frac{7}{12}$

Paso 10