Precálculo Ejemplos

$y^{2} + 6 y - 8 x - 31 = 0$

Paso 1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1

Aísla $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1.1

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.1.1.1

Resta $y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$6 y - 8 x - 31 = - y^{2}$

Paso 1.1.1.2

Resta $6 y$ de ambos lados de la ecuación.

$- 8 x - 31 = - y^{2} - 6 y$

Paso 1.1.1.3

Suma $31$ a ambos lados de la ecuación.

$- 8 x = - y^{2} - 6 y + 31$

Paso 1.1.2

Divide cada término en $- 8 x = - y^{2} - 6 y + 31$ por $- 8$ y simplifica.

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Paso 1.1.2.1

Divide cada término en $- 8 x = - y^{2} - 6 y + 31$ por $- 8$ .

$\frac{- 8 x}{- 8} = \frac{- y^{2}}{- 8} + \frac{- 6 y}{- 8} + \frac{31}{- 8}$

Paso 1.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.2.1

Cancela el factor común de $- 8$ .

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Paso 1.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 8 x}{- 8} = \frac{- y^{2}}{- 8} + \frac{- 6 y}{- 8} + \frac{31}{- 8}$

Paso 1.1.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- y^{2}}{- 8} + \frac{- 6 y}{- 8} + \frac{31}{- 8}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.3.1.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x = \frac{y^{2}}{8} + \frac{- 6 y}{- 8} + \frac{31}{- 8}$

Paso 1.1.2.3.1.2

Cancela el factor común de $- 6$ y $- 8$ .

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Paso 1.1.2.3.1.2.1

Factoriza $- 2$ de $- 6 y$ .

$x = \frac{y^{2}}{8} + \frac{- 2 (3 y)}{- 8} + \frac{31}{- 8}$

Paso 1.1.2.3.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.2.3.1.2.2.1

Factoriza $- 2$ de $- 8$ .

$x = \frac{y^{2}}{8} + \frac{- 2 (3 y)}{- 2 (4)} + \frac{31}{- 8}$

Paso 1.1.2.3.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{y^{2}}{8} + \frac{- 2 (3 y)}{- 2 \cdot 4} + \frac{31}{- 8}$

Paso 1.1.2.3.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{y^{2}}{8} + \frac{3 y}{4} + \frac{31}{- 8}$

Paso 1.1.2.3.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = \frac{y^{2}}{8} + \frac{3 y}{4} - \frac{31}{8}$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $\frac{y^{2}}{8} + \frac{3 y}{4} - \frac{31}{8}$ .

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Paso 1.2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = \frac{1}{8}$

$b = \frac{3}{4}$

$c = - \frac{31}{8}$

Paso 1.2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{3}{4}}{2 (\frac{1}{8})}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.2.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{8})}$

Paso 1.2.3.2.2

Combina $2$ y $\frac{1}{8}$ .

$d = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{\frac{2}{8}}$

Paso 1.2.3.2.3

Cancela el factor común de $2$ y $8$ .

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Paso 1.2.3.2.3.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$d = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{\frac{2 (1)}{8}}$

Paso 1.2.3.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$d = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}}$

Paso 1.2.3.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}}$

Paso 1.2.3.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{\frac{1}{4}}$

Paso 1.2.3.2.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = \frac{3}{4} (1 \cdot 4)$

Paso 1.2.3.2.5

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.2.3.2.5.1

Factoriza $4$ de $1 \cdot 4$ .

$d = \frac{3}{4} (4 \cdot 1)$

Paso 1.2.3.2.5.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{3}{4} (4 \cdot 1)$

Paso 1.2.3.2.5.3

Reescribe la expresión.

$d = 3$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - \frac{31}{8} - \frac{{(\frac{3}{4})}^{2}}{4 (\frac{1}{8})}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.4.2.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.4.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{4}$ .

$e = - \frac{31}{8} - \frac{\frac{3^{2}}{4^{2}}}{4 (\frac{1}{8})}$

Paso 1.2.4.2.1.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$e = - \frac{31}{8} - \frac{\frac{9}{4^{2}}}{4 (\frac{1}{8})}$

Paso 1.2.4.2.1.1.3

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$e = - \frac{31}{8} - \frac{\frac{9}{16}}{4 (\frac{1}{8})}$

Paso 1.2.4.2.1.2

Combina $4$ y $\frac{1}{8}$ .

$e = - \frac{31}{8} - \frac{\frac{9}{16}}{\frac{4}{8}}$

Paso 1.2.4.2.1.3

Cancela el factor común de $4$ y $8$ .

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Paso 1.2.4.2.1.3.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$e = - \frac{31}{8} - \frac{\frac{9}{16}}{\frac{4 (1)}{8}}$

Paso 1.2.4.2.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.4.2.1.3.2.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$e = - \frac{31}{8} - \frac{\frac{9}{16}}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

Paso 1.2.4.2.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$e = - \frac{31}{8} - \frac{\frac{9}{16}}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

Paso 1.2.4.2.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$e = - \frac{31}{8} - \frac{\frac{9}{16}}{\frac{1}{2}}$

Paso 1.2.4.2.1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e = - \frac{31}{8} - (\frac{9}{16} \cdot 2)$

Paso 1.2.4.2.1.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.4.2.1.5.1

Factoriza $2$ de $16$ .

$e = - \frac{31}{8} - (\frac{9}{2 (8)} \cdot 2)$

Paso 1.2.4.2.1.5.2

Cancela el factor común.

$e = - \frac{31}{8} - (\frac{9}{2 \cdot 8} \cdot 2)$

Paso 1.2.4.2.1.5.3

Reescribe la expresión.

$e = - \frac{31}{8} - \frac{9}{8}$

Paso 1.2.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e = \frac{- 31 - 9}{8}$

Paso 1.2.4.2.3

Resta $9$ de $- 31$ .

$e = \frac{- 40}{8}$

Paso 1.2.4.2.4

Divide $- 40$ por $8$ .

$e = - 5$

Paso 1.2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $\frac{1}{8} {(y + 3)}^{2} - 5$ .

$\frac{1}{8} {(y + 3)}^{2} - 5$

Paso 1.3

Establece $x$ igual al nuevo lado derecho.

$x = \frac{1}{8} \cdot {(y + 3)}^{2} - 5$

Paso 2

Usa la forma de vértice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = \frac{1}{8}$

$h = - 5$

$k = - 3$

Paso 3

Como el valor de $a$ es positivo, la parábola se abre hacia la derecha.

Abre a la derecha

Paso 4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(- 5, - 3)$

Paso 5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{8}}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Combina $4$ y $\frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{8}}$

Paso 5.3.2

Cancela el factor común de $4$ y $8$ .

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Paso 5.3.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$\frac{1}{\frac{4 (1)}{8}}$

Paso 5.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.2.2.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

Paso 5.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

Paso 5.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\frac{1}{2}}$

Paso 5.3.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$1 \cdot 2$

Paso 5.3.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 6

Obtén el foco.

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Paso 6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada x $h$ si la parábola abre hacia la izquierda o hacia la derecha.

$(h + p, k)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- 3, - 3)$

Paso 7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$y = - 3$

Paso 8

Obtén la directriz.

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Paso 8.1

La directriz de una parábola es la recta vertical que se obtiene al restar $p$ de la coordenada x $h$ del vértice si la parábola abre hacia la izquierda o hacia la derecha.

$x = h - p$

Paso 8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $h$ en la fórmula y simplifica.

$x = - 7$

Paso 9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre a la derecha

Vértice: $(- 5, - 3)$

Foco: $(- 3, - 3)$

Eje de simetría: $y = - 3$

Directriz: $x = - 7$

Paso 10