Precálculo Ejemplos

$[\begin{array}{c} 5 & 4 \\ - 3 & 2 \end{array}] x = [\begin{array}{c} 10 \\ - 16 \end{array}]$

Paso 1

Obtén la inversa de $[\begin{array}{c} 5 & 4 \\ - 3 & 2 \end{array}]$ .

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Paso 1.1

La inversa de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse mediante la fórmula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ , en la que $a d - b c$ es el determinante.

Paso 1.2

Obtén el determinante.

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Paso 1.2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$5 \cdot 2 - (- 3 \cdot 4)$

Paso 1.2.2

Simplifica el determinante.

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Paso 1.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.2.1.1

Multiplica $5$ por $2$ .

$10 - (- 3 \cdot 4)$

Paso 1.2.2.1.2

Multiplica $- (- 3 \cdot 4)$ .

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Paso 1.2.2.1.2.1

Multiplica $- 3$ por $4$ .

$10 - - 12$

Paso 1.2.2.1.2.2

Multiplica $- 1$ por $- 12$ .

$10 + 12$

Paso 1.2.2.2

Suma $10$ y $12$ .

$22$

Paso 1.3

Como el determinante no es nulo, existe el inverso.

Paso 1.4

Sustituye los valores conocidos en la fórmula para la inversa.

$\frac{1}{22} [\begin{array}{c} 2 & - 4 \\ 3 & 5 \end{array}]$

Paso 1.5

Multiplica $\frac{1}{22}$ por cada elemento de la matriz.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{22} \cdot 2 & \frac{1}{22} \cdot - 4 \\ \frac{1}{22} \cdot 3 & \frac{1}{22} \cdot 5 \end{array}]$

Paso 1.6

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 1.6.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.6.1.1

Factoriza $2$ de $22$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2 (11)} \cdot 2 & \frac{1}{22} \cdot - 4 \\ \frac{1}{22} \cdot 3 & \frac{1}{22} \cdot 5 \end{array}]$

Paso 1.6.1.2

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2 \cdot 11} \cdot 2 & \frac{1}{22} \cdot - 4 \\ \frac{1}{22} \cdot 3 & \frac{1}{22} \cdot 5 \end{array}]$

Paso 1.6.1.3

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{11} & \frac{1}{22} \cdot - 4 \\ \frac{1}{22} \cdot 3 & \frac{1}{22} \cdot 5 \end{array}]$

Paso 1.6.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.6.2.1

Factoriza $2$ de $22$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{11} & \frac{1}{2 (11)} \cdot - 4 \\ \frac{1}{22} \cdot 3 & \frac{1}{22} \cdot 5 \end{array}]$

Paso 1.6.2.2

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{11} & \frac{1}{2 \cdot 11} \cdot (2 \cdot - 2) \\ \frac{1}{22} \cdot 3 & \frac{1}{22} \cdot 5 \end{array}]$

Paso 1.6.2.3

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{11} & \frac{1}{2 \cdot 11} \cdot (2 \cdot - 2) \\ \frac{1}{22} \cdot 3 & \frac{1}{22} \cdot 5 \end{array}]$

Paso 1.6.2.4

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{11} & \frac{1}{11} \cdot - 2 \\ \frac{1}{22} \cdot 3 & \frac{1}{22} \cdot 5 \end{array}]$

Paso 1.6.3

Combina $\frac{1}{11}$ y $- 2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{11} & \frac{- 2}{11} \\ \frac{1}{22} \cdot 3 & \frac{1}{22} \cdot 5 \end{array}]$

Paso 1.6.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{11} & - \frac{2}{11} \\ \frac{1}{22} \cdot 3 & \frac{1}{22} \cdot 5 \end{array}]$

Paso 1.6.5

Combina $\frac{1}{22}$ y $3$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{11} & - \frac{2}{11} \\ \frac{3}{22} & \frac{1}{22} \cdot 5 \end{array}]$

Paso 1.6.6

Combina $\frac{1}{22}$ y $5$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{11} & - \frac{2}{11} \\ \frac{3}{22} & \frac{5}{22} \end{array}]$

Paso 2

Multiplica ambos lados por la inversa de $[\begin{array}{c} 5 & 4 \\ - 3 & 2 \end{array}]$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{11} & - \frac{2}{11} \\ \frac{3}{22} & \frac{5}{22} \end{array}] [\begin{array}{c} 5 & 4 \\ - 3 & 2 \end{array}] x = [\begin{array}{c} \frac{1}{11} & - \frac{2}{11} \\ \frac{3}{22} & \frac{5}{22} \end{array}] [\begin{array}{c} 10 \\ - 16 \end{array}]$

Paso 3

Simplifica la ecuación.

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Paso 3.1

Multiplica $[\begin{array}{c} \frac{1}{11} & - \frac{2}{11} \\ \frac{3}{22} & \frac{5}{22} \end{array}] [\begin{array}{c} 5 & 4 \\ - 3 & 2 \end{array}]$ .

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Paso 3.1.1

Dos matrices pueden multiplicarse solo si el número de columnas en la primera matriz es igual al número de filas en la segunda matriz. En este caso, la primera matriz es $2 \times 2$ y la segunda matriz es $2 \times 2$ .

Paso 3.1.2

Multiplica cada fila en la primera matriz por cada columna en la segunda matriz.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{11} \cdot 5 - \frac{2}{11} \cdot - 3 & \frac{1}{11} \cdot 4 - \frac{2}{11} \cdot 2 \\ \frac{3}{22} \cdot 5 + \frac{5}{22} \cdot - 3 & \frac{3}{22} \cdot 4 + \frac{5}{22} \cdot 2 \end{array}] x = [\begin{array}{c} \frac{1}{11} & - \frac{2}{11} \\ \frac{3}{22} & \frac{5}{22} \end{array}] [\begin{array}{c} 10 \\ - 16 \end{array}]$

Paso 3.1.3

Simplifica cada elemento de la matriz mediante la multiplicación de todas las expresiones.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] x = [\begin{array}{c} \frac{1}{11} & - \frac{2}{11} \\ \frac{3}{22} & \frac{5}{22} \end{array}] [\begin{array}{c} 10 \\ - 16 \end{array}]$

Paso 3.2

Multiplicar una matriz de identidades por cualquier matriz $A$ es la matriz $A$ en sí misma.

$x = [\begin{array}{c} \frac{1}{11} & - \frac{2}{11} \\ \frac{3}{22} & \frac{5}{22} \end{array}] [\begin{array}{c} 10 \\ - 16 \end{array}]$

Paso 3.3

Multiplica $[\begin{array}{c} \frac{1}{11} & - \frac{2}{11} \\ \frac{3}{22} & \frac{5}{22} \end{array}] [\begin{array}{c} 10 \\ - 16 \end{array}]$ .

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Paso 3.3.1

Paso 3.3.2

Multiplica cada fila en la primera matriz por cada columna en la segunda matriz.

$x = [\begin{array}{c} \frac{1}{11} \cdot 10 - \frac{2}{11} \cdot - 16 \\ \frac{3}{22} \cdot 10 + \frac{5}{22} \cdot - 16 \end{array}]$

Paso 3.3.3

Simplifica cada elemento de la matriz mediante la multiplicación de todas las expresiones.

$x = [\begin{array}{c} \frac{42}{11} \\ - \frac{25}{11} \end{array}]$