Precálculo Ejemplos

${(y - 4)}^{2} = 20 (x + 2)$

Paso 1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1

Aísla $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1.1

Reescribe la ecuación como $20 (x + 2) = {(y - 4)}^{2}$ .

$20 (x + 2) = {(y - 4)}^{2}$

Paso 1.1.2

Divide cada término en $20 (x + 2) = {(y - 4)}^{2}$ por $20$ y simplifica.

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Paso 1.1.2.1

Divide cada término en $20 (x + 2) = {(y - 4)}^{2}$ por $20$ .

$\frac{20 (x + 2)}{20} = \frac{{(y - 4)}^{2}}{20}$

Paso 1.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.2.1

Cancela el factor común de $20$ .

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Paso 1.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{20 (x + 2)}{20} = \frac{{(y - 4)}^{2}}{20}$

Paso 1.1.2.2.1.2

Divide $x + 2$ por $1$ .

$x + 2 = \frac{{(y - 4)}^{2}}{20}$

Paso 1.1.3

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = \frac{{(y - 4)}^{2}}{20} - 2$

Paso 1.1.4

Reordena los términos.

$x = \frac{1}{20} \cdot {(y - 4)}^{2} - 2$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $\frac{1}{20} \cdot {(y - 4)}^{2} - 2$ .

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Paso 1.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.1.1.1

Reescribe ${(y - 4)}^{2}$ como $(y - 4) (y - 4)$ .

$\frac{1}{20} \cdot ((y - 4) (y - 4)) - 2$

Paso 1.2.1.1.2

Expande $(y - 4) (y - 4)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{20} \cdot (y (y - 4) - 4 (y - 4)) - 2$

Paso 1.2.1.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{20} \cdot (y \cdot y + y \cdot - 4 - 4 (y - 4)) - 2$

Paso 1.2.1.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{20} \cdot (y \cdot y + y \cdot - 4 - 4 y - 4 \cdot - 4) - 2$

Paso 1.2.1.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.2.1.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.1.1.3.1.1

Multiplica $y$ por $y$ .

$\frac{1}{20} \cdot (y^{2} + y \cdot - 4 - 4 y - 4 \cdot - 4) - 2$

Paso 1.2.1.1.3.1.2

Mueve $- 4$ a la izquierda de $y$ .

$\frac{1}{20} \cdot (y^{2} - 4 \cdot y - 4 y - 4 \cdot - 4) - 2$

Paso 1.2.1.1.3.1.3

Multiplica $- 4$ por $- 4$ .

$\frac{1}{20} \cdot (y^{2} - 4 y - 4 y + 16) - 2$

Paso 1.2.1.1.3.2

Resta $4 y$ de $- 4 y$ .

$\frac{1}{20} \cdot (y^{2} - 8 y + 16) - 2$

Paso 1.2.1.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{20} y^{2} + \frac{1}{20} (- 8 y) + \frac{1}{20} \cdot 16 - 2$

Paso 1.2.1.1.5

Simplifica.

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Paso 1.2.1.1.5.1

Combina $\frac{1}{20}$ y $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{20} + \frac{1}{20} (- 8 y) + \frac{1}{20} \cdot 16 - 2$

Paso 1.2.1.1.5.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.2.1.1.5.2.1

Factoriza $4$ de $20$ .

$\frac{y^{2}}{20} + \frac{1}{4 (5)} (- 8 y) + \frac{1}{20} \cdot 16 - 2$

Paso 1.2.1.1.5.2.2

Factoriza $4$ de $- 8 y$ .

$\frac{y^{2}}{20} + \frac{1}{4 (5)} (4 (- 2 y)) + \frac{1}{20} \cdot 16 - 2$

Paso 1.2.1.1.5.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{y^{2}}{20} + \frac{1}{4 \cdot 5} (4 (- 2 y)) + \frac{1}{20} \cdot 16 - 2$

Paso 1.2.1.1.5.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{y^{2}}{20} + \frac{1}{5} (- 2 y) + \frac{1}{20} \cdot 16 - 2$

Paso 1.2.1.1.5.3

Combina $- 2$ y $\frac{1}{5}$ .

$\frac{y^{2}}{20} + \frac{- 2}{5} y + \frac{1}{20} \cdot 16 - 2$

Paso 1.2.1.1.5.4

Combina $\frac{- 2}{5}$ y $y$ .

$\frac{y^{2}}{20} + \frac{- 2 y}{5} + \frac{1}{20} \cdot 16 - 2$

Paso 1.2.1.1.5.5

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.2.1.1.5.5.1

Factoriza $4$ de $20$ .

$\frac{y^{2}}{20} + \frac{- 2 y}{5} + \frac{1}{4 (5)} \cdot 16 - 2$

Paso 1.2.1.1.5.5.2

Factoriza $4$ de $16$ .

$\frac{y^{2}}{20} + \frac{- 2 y}{5} + \frac{1}{4 \cdot 5} \cdot (4 \cdot 4) - 2$

Paso 1.2.1.1.5.5.3

Cancela el factor común.

$\frac{y^{2}}{20} + \frac{- 2 y}{5} + \frac{1}{4 \cdot 5} \cdot (4 \cdot 4) - 2$

Paso 1.2.1.1.5.5.4

Reescribe la expresión.

$\frac{y^{2}}{20} + \frac{- 2 y}{5} + \frac{1}{5} \cdot 4 - 2$

Paso 1.2.1.1.5.6

Combina $\frac{1}{5}$ y $4$ .

$\frac{y^{2}}{20} + \frac{- 2 y}{5} + \frac{4}{5} - 2$

Paso 1.2.1.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{y^{2}}{20} - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5} - 2$

Paso 1.2.1.2

Para escribir $- 2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{y^{2}}{20} - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5} - 2 \cdot \frac{5}{5}$

Paso 1.2.1.3

Combina $- 2$ y $\frac{5}{5}$ .

$\frac{y^{2}}{20} - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5} + \frac{- 2 \cdot 5}{5}$

Paso 1.2.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{y^{2}}{20} - \frac{2 y}{5} + \frac{4 - 2 \cdot 5}{5}$

Paso 1.2.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.1.5.1

Multiplica $- 2$ por $5$ .

$\frac{y^{2}}{20} - \frac{2 y}{5} + \frac{4 - 10}{5}$

Paso 1.2.1.5.2

Resta $10$ de $4$ .

$\frac{y^{2}}{20} - \frac{2 y}{5} + \frac{- 6}{5}$

Paso 1.2.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{y^{2}}{20} - \frac{2 y}{5} - \frac{6}{5}$

Paso 1.2.2

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = \frac{1}{20}$

$b = - \frac{2}{5}$

$c = - \frac{6}{5}$

Paso 1.2.3

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- \frac{2}{5}}{2 (\frac{1}{20})}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = - \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{20})}$

Paso 1.2.4.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.4.2.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{2}{5}$ al numerador.

$d = \frac{- 2}{5} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{20})}$

Paso 1.2.4.2.2.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$d = \frac{2 (- 1)}{5} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{20})}$

Paso 1.2.4.2.2.3

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{5} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{20})}$

Paso 1.2.4.2.2.4

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 1}{5} \cdot \frac{1}{\frac{1}{20}}$

Paso 1.2.4.2.3

Multiplica $\frac{- 1}{5}$ por $\frac{1}{\frac{1}{20}}$ .

$d = \frac{- 1}{5 (\frac{1}{20})}$

Paso 1.2.4.2.4

Combina $5$ y $\frac{1}{20}$ .

$d = \frac{- 1}{\frac{5}{20}}$

Paso 1.2.4.2.5

Cancela el factor común de $5$ y $20$ .

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Paso 1.2.4.2.5.1

Factoriza $5$ de $5$ .

$d = \frac{- 1}{\frac{5 (1)}{20}}$

Paso 1.2.4.2.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.4.2.5.2.1

Factoriza $5$ de $20$ .

$d = \frac{- 1}{\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 4}}$

Paso 1.2.4.2.5.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{- 1}{\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 4}}$

Paso 1.2.4.2.5.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 1}{\frac{1}{4}}$

Paso 1.2.4.2.6

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = - 1 \cdot 4$

Paso 1.2.4.2.7

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$d = - 4$

Paso 1.2.5

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.5.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - \frac{6}{5} - \frac{{(- \frac{2}{5})}^{2}}{4 (\frac{1}{20})}$

Paso 1.2.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.5.2.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.5.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{2}{5}$ .

$e = - \frac{6}{5} - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{2}{5})}^{2}}{4 (\frac{1}{20})}$

Paso 1.2.5.2.1.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$e = - \frac{6}{5} - \frac{1 {(\frac{2}{5})}^{2}}{4 (\frac{1}{20})}$

Paso 1.2.5.2.1.1.3

Aplica la regla del producto a $\frac{2}{5}$ .

$e = - \frac{6}{5} - \frac{1 \frac{2^{2}}{5^{2}}}{4 (\frac{1}{20})}$

Paso 1.2.5.2.1.1.4

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$e = - \frac{6}{5} - \frac{1 \frac{4}{5^{2}}}{4 (\frac{1}{20})}$

Paso 1.2.5.2.1.1.5

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$e = - \frac{6}{5} - \frac{1 (\frac{4}{25})}{4 (\frac{1}{20})}$

Paso 1.2.5.2.1.1.6

Multiplica $\frac{4}{25}$ por $1$ .

$e = - \frac{6}{5} - \frac{\frac{4}{25}}{4 (\frac{1}{20})}$

Paso 1.2.5.2.1.2

Combina $4$ y $\frac{1}{20}$ .

$e = - \frac{6}{5} - \frac{\frac{4}{25}}{\frac{4}{20}}$

Paso 1.2.5.2.1.3

Cancela el factor común de $4$ y $20$ .

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Paso 1.2.5.2.1.3.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$e = - \frac{6}{5} - \frac{\frac{4}{25}}{\frac{4 (1)}{20}}$

Paso 1.2.5.2.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.5.2.1.3.2.1

Factoriza $4$ de $20$ .

$e = - \frac{6}{5} - \frac{\frac{4}{25}}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 5}}$

Paso 1.2.5.2.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$e = - \frac{6}{5} - \frac{\frac{4}{25}}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 5}}$

Paso 1.2.5.2.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$e = - \frac{6}{5} - \frac{\frac{4}{25}}{\frac{1}{5}}$

Paso 1.2.5.2.1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e = - \frac{6}{5} - (\frac{4}{25} \cdot 5)$

Paso 1.2.5.2.1.5

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 1.2.5.2.1.5.1

Factoriza $5$ de $25$ .

$e = - \frac{6}{5} - (\frac{4}{5 (5)} \cdot 5)$

Paso 1.2.5.2.1.5.2

Cancela el factor común.

$e = - \frac{6}{5} - (\frac{4}{5 \cdot 5} \cdot 5)$

Paso 1.2.5.2.1.5.3

Reescribe la expresión.

$e = - \frac{6}{5} - \frac{4}{5}$

Paso 1.2.5.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e = \frac{- 6 - 4}{5}$

Paso 1.2.5.2.3

Resta $4$ de $- 6$ .

$e = \frac{- 10}{5}$

Paso 1.2.5.2.4

Divide $- 10$ por $5$ .

$e = - 2$

Paso 1.2.6

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $\frac{1}{20} {(y - 4)}^{2} - 2$ .

$\frac{1}{20} {(y - 4)}^{2} - 2$

Paso 1.3

Establece $x$ igual al nuevo lado derecho.

$x = \frac{1}{20} \cdot {(y - 4)}^{2} - 2$

Paso 2

Usa la forma de vértice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = \frac{1}{20}$

$h = - 2$

$k = 4$

Paso 3

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(- 2, 4)$

Paso 4