Precálculo Ejemplos

$x > - \frac{3}{x - 4}$

Paso 1

Suma $\frac{3}{x - 4}$ a ambos lados de la desigualdad.

$x + \frac{3}{x - 4} > 0$

Paso 2

Simplifica $x + \frac{3}{x - 4}$ .

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Paso 2.1

Para escribir $x$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{x (x - 4)}{x - 4} + \frac{3}{x - 4} > 0$

Paso 2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x (x - 4) + 3}{x - 4} > 0$

Paso 2.3

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 4 + 3}{x - 4} > 0$

Paso 2.3.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 4 + 3}{x - 4} > 0$

Paso 2.3.3

Mueve $- 4$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{x^{2} - 4 \cdot x + 3}{x - 4} > 0$

Paso 2.3.4

Factoriza $x^{2} - 4 x + 3$ con el método AC.

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Paso 2.3.4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $3$ y cuya suma es $- 4$ .

$- 3, - 1$

Paso 2.3.4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(x - 3) (x - 1)}{x - 4} > 0$

Paso 3

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x - 3 = 0$

$x - 1 = 0$

$x - 4 = 0$

Paso 4

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 5

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 6

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 7

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = 3$

$x = 1$

$x = 4$

Paso 8

Consolida las soluciones.

$x = 3, 1, 4$

Paso 9

Obtén el dominio de $\frac{(x - 3) (x - 1)}{x - 4}$ .

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Paso 9.1

Establece el denominador en $\frac{(x - 3) (x - 1)}{x - 4}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x - 4 = 0$

Paso 9.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 9.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

Paso 10

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 1$

$1 < x < 3$

$3 < x < 4$

$x > 4$

Paso 11

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 11.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 11.1.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$0 > - \frac{3}{(0) - 4}$

Paso 11.1.3

$0$ del lado izquierdo no es mayor que $0.75$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 11.2

Prueba un valor en el intervalo $1 < x < 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.2.1

Elije un valor en el intervalo $1 < x < 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2$

Paso 11.2.2

Reemplaza $x$ con $2$ en la desigualdad original.

$2 > - \frac{3}{(2) - 4}$

Paso 11.2.3

$2$ del lado izquierdo es mayor que $1.5$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 11.3

Prueba un valor en el intervalo $3 < x < 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.3.1

Elije un valor en el intervalo $3 < x < 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 3.5$

Paso 11.3.2

Reemplaza $x$ con $3.5$ en la desigualdad original.

$3.5 > - \frac{3}{(3.5) - 4}$

Paso 11.3.3

$3.5$ del lado izquierdo no es mayor que $6$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 11.4

Prueba un valor en el intervalo $x > 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 6$

Paso 11.4.2

Reemplaza $x$ con $6$ en la desigualdad original.

$6 > - \frac{3}{(6) - 4}$

Paso 11.4.3

$6$ del lado izquierdo es mayor que $- 1.5$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 11.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 1$ Falso

$1 < x < 3$ Verdadero

$3 < x < 4$ Falso

$x > 4$ Verdadero

$x < 1$ Falso

$1 < x < 3$ Verdadero

$3 < x < 4$ Falso

$x > 4$ Verdadero

Paso 12

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$1 < x < 3$ o $x > 4$

Paso 13

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(1, 3) \cup (4, \infty)$

Paso 14