Precálculo Ejemplos

$x^{3} + 4 x^{2} \geq x + 4$

Paso 1

Resta $x$ de ambos lados de la desigualdad.

$x^{3} + 4 x^{2} - x \geq 4$

Paso 2

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$x^{3} + 4 x^{2} - x = 4$

Paso 3

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{3} + 4 x^{2} - x - 4 = 0$

Paso 4

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.1

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 4.1.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(x^{3} + 4 x^{2}) - x - 4 = 0$

Paso 4.1.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$x^{2} (x + 4) - (x + 4) = 0$

Paso 4.2

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $x + 4$ .

$(x + 4) (x^{2} - 1) = 0$

Paso 4.3

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$(x + 4) (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Paso 4.4

Factoriza.

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Paso 4.4.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$(x + 4) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Paso 4.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x + 4) (x + 1) (x - 1) = 0$

Paso 5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Paso 6

Establece $x + 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.1

Establece $x + 4$ igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Paso 6.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 4$

Paso 7

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 7.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 8

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 8.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 8.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 9

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 4) (x + 1) (x - 1) = 0$ verdadera.

$x = - 4, - 1, 1$

Paso 10

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 4$

$- 4 < x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$x > 1$

Paso 11

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 11.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 6$

Paso 11.1.2

Reemplaza $x$ con $- 6$ en la desigualdad original.

${(- 6)}^{3} + 4 {(- 6)}^{2} \geq (- 6) + 4$

Paso 11.1.3

$- 72$ del lado izquierdo es menor que $- 2$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 11.2

Prueba un valor en el intervalo $- 4 < x < - 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 4 < x < - 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 2$

Paso 11.2.2

Reemplaza $x$ con $- 2$ en la desigualdad original.

${(- 2)}^{3} + 4 {(- 2)}^{2} \geq (- 2) + 4$

Paso 11.2.3

$8$ del lado izquierdo es mayor que $2$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 11.3

Prueba un valor en el intervalo $- 1 < x < 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.3.1

Elije un valor en el intervalo $- 1 < x < 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 11.3.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

${(0)}^{3} + 4 {(0)}^{2} \geq (0) + 4$

Paso 11.3.3

$0$ del lado izquierdo es menor que $4$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 11.4

Prueba un valor en el intervalo $x > 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 11.4.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

${(4)}^{3} + 4 {(4)}^{2} \geq (4) + 4$

Paso 11.4.3

$128$ del lado izquierdo es mayor que $8$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 11.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 4$ Falso

$- 4 < x < - 1$ Verdadero

$- 1 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Verdadero

$x < - 4$ Falso

$- 4 < x < - 1$ Verdadero

$- 1 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Verdadero

Paso 12

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 4 \leq x \leq - 1$ o $x \geq 1$

Paso 13

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$[- 4, - 1] \cup [1, \infty)$

Paso 14