Precálculo Ejemplos

$\frac{x^{2} + 9 x + 20}{x^{2} - x - 20} \geq 0$

Paso 1

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x^{2} + 9 x + 20 = 0$

$x^{2} - x - 20 = 0$

Paso 2

Factoriza $x^{2} + 9 x + 20$ con el método AC.

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Paso 2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $20$ y cuya suma es $9$ .

$4, 5$

Paso 2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x + 4) (x + 5) = 0$

Paso 3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

$x + 5 = 0$

Paso 4

Establece $x + 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $x + 4$ igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Paso 4.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 4$

Paso 5

Establece $x + 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece $x + 5$ igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Paso 5.2

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 5$

Paso 6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 4) (x + 5) = 0$ verdadera.

$x = - 4, - 5$

Paso 7

Factoriza $x^{2} - x - 20$ con el método AC.

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Paso 7.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 20$ y cuya suma es $- 1$ .

$- 5, 4$

Paso 7.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 5) (x + 4) = 0$

Paso 8

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 4 = 0$

Paso 9

Establece $x - 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 9.1

Establece $x - 5$ igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Paso 9.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 5$

Paso 10

Establece $x + 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 10.1

Establece $x + 4$ igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Paso 10.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 4$

Paso 11

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 5) (x + 4) = 0$ verdadera.

$x = 5, - 4$

Paso 12

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = - 4, - 5$

$x = 5, - 4$

Paso 13

Consolida las soluciones.

$x = - 4, - 5, 5, - 4$

Paso 14

Obtén el dominio de $\frac{x^{2} + 9 x + 20}{x^{2} - x - 20}$ .

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Paso 14.1

Establece el denominador en $\frac{x^{2} + 9 x + 20}{x^{2} - x - 20}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{2} - x - 20 = 0$

Paso 14.2

Resuelve $x$

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Paso 14.2.1

Factoriza $x^{2} - x - 20$ con el método AC.

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Paso 14.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 20$ y cuya suma es $- 1$ .

$- 5, 4$

Paso 14.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 5) (x + 4) = 0$

Paso 14.2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 4 = 0$

Paso 14.2.3

Establece $x - 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 14.2.3.1

Establece $x - 5$ igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Paso 14.2.3.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 5$

Paso 14.2.4

Establece $x + 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 14.2.4.1

Establece $x + 4$ igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Paso 14.2.4.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 4$

Paso 14.2.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 5) (x + 4) = 0$ verdadera.

$x = 5, - 4$

Paso 14.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 5) \cup (5, \infty)$

Paso 15

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 5$

$- 5 < x < - 4$

$- 4 < x < 5$

$x > 5$

Paso 16

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 16.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 5$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 16.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 5$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 8$

Paso 16.1.2

Reemplaza $x$ con $- 8$ en la desigualdad original.

$\frac{{(- 8)}^{2} + 9 (- 8) + 20}{{(- 8)}^{2} - (- 8) - 20} \geq 0$

Paso 16.1.3

$0.\overline{230769}$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 16.2

Prueba un valor en el intervalo $- 5 < x < - 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 16.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 5 < x < - 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4.5$

Paso 16.2.2

Reemplaza $x$ con $- 4.5$ en la desigualdad original.

$\frac{{(- 4.5)}^{2} + 9 (- 4.5) + 20}{{(- 4.5)}^{2} - (- 4.5) - 20} \geq 0$

Paso 16.2.3

$- 0.05263157$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 16.3

Prueba un valor en el intervalo $- 4 < x < 5$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 16.3.1

Elije un valor en el intervalo $- 4 < x < 5$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 16.3.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{{(0)}^{2} + 9 (0) + 20}{{(0)}^{2} - (0) - 20} \geq 0$

Paso 16.3.3

$- 1$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 16.4

Prueba un valor en el intervalo $x > 5$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 16.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > 5$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 8$

Paso 16.4.2

Reemplaza $x$ con $8$ en la desigualdad original.

$\frac{{(8)}^{2} + 9 (8) + 20}{{(8)}^{2} - (8) - 20} \geq 0$

Paso 16.4.3

$4.\overline{3}$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 16.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 5$ Verdadero

$- 5 < x < - 4$ Falso

$- 4 < x < 5$ Falso

$x > 5$ Verdadero

$x < - 5$ Verdadero

$- 5 < x < - 4$ Falso

$- 4 < x < 5$ Falso

$x > 5$ Verdadero

Paso 17

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x \leq - 5$ o $x > 5$

Paso 18

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(- \infty, - 5] \cup (5, \infty)$

Paso 19