Precálculo Ejemplos

$\frac{49 x^{2} - 81}{x^{2} - 64} \leq 0$

Paso 1

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$49 x^{2} - 81 = 0$

$x^{2} - 64 = 0$

Paso 2

Suma $81$ a ambos lados de la ecuación.

$49 x^{2} = 81$

Paso 3

Divide cada término en $49 x^{2} = 81$ por $49$ y simplifica.

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Paso 3.1

Divide cada término en $49 x^{2} = 81$ por $49$ .

$\frac{49 x^{2}}{49} = \frac{81}{49}$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común de $49$ .

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Paso 3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{49 x^{2}}{49} = \frac{81}{49}$

Paso 3.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{81}{49}$

Paso 4

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{\frac{81}{49}}$

Paso 5

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{81}{49}}$ .

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Paso 5.1

Reescribe $\sqrt{\frac{81}{49}}$ como $\frac{\sqrt{81}}{\sqrt{49}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{81}}{\sqrt{49}}$

Paso 5.2

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.1

Reescribe $81$ como $9^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{9^{2}}}{\sqrt{49}}$

Paso 5.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm \frac{9}{\sqrt{49}}$

Paso 5.3

Simplifica el denominador.

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Paso 5.3.1

Reescribe $49$ como $7^{2}$ .

$x = \pm \frac{9}{\sqrt{7^{2}}}$

Paso 5.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm \frac{9}{7}$

Paso 6

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 6.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{9}{7}$

Paso 6.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{9}{7}$

Paso 6.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{9}{7}, - \frac{9}{7}$

Paso 7

Suma $64$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 64$

Paso 8

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{64}$

Paso 9

Simplifica $\pm \sqrt{64}$ .

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Paso 9.1

Reescribe $64$ como $8^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{8^{2}}$

Paso 9.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 8$

Paso 10

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 10.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 8$

Paso 10.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 8$

Paso 10.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 8, - 8$

Paso 11

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = \frac{9}{7}, - \frac{9}{7}$

$x = 8, - 8$

Paso 12

Consolida las soluciones.

$x = \frac{9}{7}, - \frac{9}{7}, 8, - 8$

Paso 13

Obtén el dominio de $\frac{49 x^{2} - 81}{x^{2} - 64}$ .

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Paso 13.1

Establece el denominador en $\frac{49 x^{2} - 81}{x^{2} - 64}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{2} - 64 = 0$

Paso 13.2

Resuelve $x$

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Paso 13.2.1

Suma $64$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 64$

Paso 13.2.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{64}$

Paso 13.2.3

Simplifica $\pm \sqrt{64}$ .

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Paso 13.2.3.1

Reescribe $64$ como $8^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{8^{2}}$

Paso 13.2.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 8$

Paso 13.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 13.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 8$

Paso 13.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 8$

Paso 13.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 8, - 8$

Paso 13.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, - 8) \cup (- 8, 8) \cup (8, \infty)$

Paso 14

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 8$

$- 8 < x < - \frac{9}{7}$

$- \frac{9}{7} < x < \frac{9}{7}$

$\frac{9}{7} < x < 8$

$x > 8$

Paso 15

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 15.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 8$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 15.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 8$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 10$

Paso 15.1.2

Reemplaza $x$ con $- 10$ en la desigualdad original.

$\frac{49 {(- 10)}^{2} - 81}{{(- 10)}^{2} - 64} \leq 0$

Paso 15.1.3

$133.86\overline{1}$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 15.2

Prueba un valor en el intervalo $- 8 < x < - \frac{9}{7}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 15.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 8 < x < - \frac{9}{7}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 5$

Paso 15.2.2

Reemplaza $x$ con $- 5$ en la desigualdad original.

$\frac{49 {(- 5)}^{2} - 81}{{(- 5)}^{2} - 64} \leq 0$

Paso 15.2.3

$- 29.\overline{3}$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 15.3

Prueba un valor en el intervalo $- \frac{9}{7} < x < \frac{9}{7}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 15.3.1

Elije un valor en el intervalo $- \frac{9}{7} < x < \frac{9}{7}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 15.3.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{49 {(0)}^{2} - 81}{{(0)}^{2} - 64} \leq 0$

Paso 15.3.3

$1.265625$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 15.4

Prueba un valor en el intervalo $\frac{9}{7} < x < 8$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 15.4.1

Elije un valor en el intervalo $\frac{9}{7} < x < 8$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 5$

Paso 15.4.2

Reemplaza $x$ con $5$ en la desigualdad original.

$\frac{49 {(5)}^{2} - 81}{{(5)}^{2} - 64} \leq 0$

Paso 15.4.3

$- 29.\overline{3}$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 15.5

Prueba un valor en el intervalo $x > 8$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 15.5.1

Elije un valor en el intervalo $x > 8$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 10$

Paso 15.5.2

Reemplaza $x$ con $10$ en la desigualdad original.

$\frac{49 {(10)}^{2} - 81}{{(10)}^{2} - 64} \leq 0$

Paso 15.5.3

$133.86\overline{1}$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 15.6

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 8$ Falso

$- 8 < x < - \frac{9}{7}$ Verdadero

$- \frac{9}{7} < x < \frac{9}{7}$ Falso

$\frac{9}{7} < x < 8$ Verdadero

$x > 8$ Falso

$x < - 8$ Falso

$- 8 < x < - \frac{9}{7}$ Verdadero

$- \frac{9}{7} < x < \frac{9}{7}$ Falso

$\frac{9}{7} < x < 8$ Verdadero

$x > 8$ Falso

Paso 16

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 8 < x \leq - \frac{9}{7}$ o $\frac{9}{7} \leq x < 8$

Paso 17

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(- 8, - \frac{9}{7}] \cup [\frac{9}{7}, 8)$

Paso 18