Precálculo Ejemplos

$g (x) = 2 e^{x} + 6 e^{- x} - 7$

Paso 1

Establece $2 e^{x} + 6 e^{- x} - 7$ igual a $0$ .

$2 e^{x} + 6 e^{- x} - 7 = 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Reescribe $e^{- x}$ como exponenciación.

$2 e^{x} + 6 {(e^{x})}^{- 1} - 7 = 0$

Paso 2.2

Sustituye $u$ por $e^{x}$ .

$2 u + 6 u^{- 1} - 7 = 0$

Paso 2.3

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 u + 6 (\frac{1}{u}) - 7 = 0$

Paso 2.3.2

Combina $6$ y $\frac{1}{u}$ .

$2 u + \frac{6}{u} - 7 = 0$

Paso 2.4

Resuelve $u$

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Paso 2.4.1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 2.4.1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$1, u, 1, 1$

Paso 2.4.1.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$u$

Paso 2.4.2

Multiplica cada término en $2 u + \frac{6}{u} - 7 = 0$ por $u$ para eliminar las fracciones.

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Paso 2.4.2.1

Multiplica cada término en $2 u + \frac{6}{u} - 7 = 0$ por $u$ .

$2 u \cdot u + \frac{6}{u} u - 7 u = 0 u$

Paso 2.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.2.2.1.1

Multiplica $u$ por $u$ sumando los exponentes.

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Paso 2.4.2.2.1.1.1

Mueve $u$ .

$2 (u \cdot u) + \frac{6}{u} u - 7 u = 0 u$

Paso 2.4.2.2.1.1.2

Multiplica $u$ por $u$ .

$2 u^{2} + \frac{6}{u} u - 7 u = 0 u$

Paso 2.4.2.2.1.2

Cancela el factor común de $u$ .

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Paso 2.4.2.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 u^{2} + \frac{6}{u} u - 7 u = 0 u$

Paso 2.4.2.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$2 u^{2} + 6 - 7 u = 0 u$

Paso 2.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.2.3.1

Multiplica $0$ por $u$ .

$2 u^{2} + 6 - 7 u = 0$

Paso 2.4.3

Resuelve la ecuación.

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Paso 2.4.3.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.4.3.1.1

Reordena los términos.

$2 u^{2} - 7 u + 6 = 0$

Paso 2.4.3.1.2

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot 6 = 12$ y cuya suma es $b = - 7$ .

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Paso 2.4.3.1.2.1

Factoriza $- 7$ de $- 7 u$ .

$2 u^{2} - 7 u + 6 = 0$

Paso 2.4.3.1.2.2

Reescribe $- 7$ como $- 3$ más $- 4$

$2 u^{2} + (- 3 - 4) u + 6 = 0$

Paso 2.4.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 u^{2} - 3 u - 4 u + 6 = 0$

Paso 2.4.3.1.3

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.4.3.1.3.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(2 u^{2} - 3 u) - 4 u + 6 = 0$

Paso 2.4.3.1.3.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$u (2 u - 3) - 2 (2 u - 3) = 0$

Paso 2.4.3.1.4

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 u - 3$ .

$(2 u - 3) (u - 2) = 0$

Paso 2.4.3.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 u - 3 = 0$

$u - 2 = 0$

Paso 2.4.3.3

Establece $2 u - 3$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 2.4.3.3.1

Establece $2 u - 3$ igual a $0$ .

$2 u - 3 = 0$

Paso 2.4.3.3.2

Resuelve $2 u - 3 = 0$ en $u$ .

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Paso 2.4.3.3.2.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$2 u = 3$

Paso 2.4.3.3.2.2

Divide cada término en $2 u = 3$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.4.3.3.2.2.1

Divide cada término en $2 u = 3$ por $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{3}{2}$

Paso 2.4.3.3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.3.3.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.4.3.3.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 u}{2} = \frac{3}{2}$

Paso 2.4.3.3.2.2.2.1.2

Divide $u$ por $1$ .

$u = \frac{3}{2}$

Paso 2.4.3.4

Establece $u - 2$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 2.4.3.4.1

Establece $u - 2$ igual a $0$ .

$u - 2 = 0$

Paso 2.4.3.4.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 2$

Paso 2.4.3.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(2 u - 3) (u - 2) = 0$ verdadera.

$u = \frac{3}{2}, 2$

Paso 2.5

Sustituye $\frac{3}{2}$ por $u$ en $u = e^{x}$ .

$\frac{3}{2} = e^{x}$

Paso 2.6

Resuelve $\frac{3}{2} = e^{x}$ .

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Paso 2.6.1

Reescribe la ecuación como $e^{x} = \frac{3}{2}$ .

$e^{x} = \frac{3}{2}$

Paso 2.6.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{3}{2})$

Paso 2.6.3

Expande el lado izquierdo.

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Paso 2.6.3.1

Expande $\ln (e^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (\frac{3}{2})$

Paso 2.6.3.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{3}{2})$

Paso 2.6.3.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$x = \ln (\frac{3}{2})$

Paso 2.7

Sustituye $2$ por $u$ en $u = e^{x}$ .

$2 = e^{x}$

Paso 2.8

Resuelve $2 = e^{x}$ .

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Paso 2.8.1

Reescribe la ecuación como $e^{x} = 2$ .

$e^{x} = 2$

Paso 2.8.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (2)$

Paso 2.8.3

Expande el lado izquierdo.

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Paso 2.8.3.1

Expande $\ln (e^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (2)$

Paso 2.8.3.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (2)$

Paso 2.8.3.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$x = \ln (2)$

Paso 2.9

Enumera las soluciones que hacen que la ecuación sea verdadera.

$x = \ln (\frac{3}{2}), \ln (2)$

Paso 3