Precálculo Ejemplos

$\log_{5} (2 x - 1)$

Paso 1

Intercambia las variables.

$x = \log_{5} (2 y - 1)$

Paso 2

Resuelve $y$

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación como $\log_{5} (2 y - 1) = x$ .

$\log_{5} (2 y - 1) = x$

Paso 2.2

Reescribe $\log_{5} (2 y - 1) = x$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$5^{x} = 2 y - 1$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Reescribe la ecuación como $2 y - 1 = 5^{x}$ .

$2 y - 1 = 5^{x}$

Paso 2.3.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 y = 5^{x} + 1$

Paso 2.3.3

Divide cada término en $2 y = 5^{x} + 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.3.3.1

Divide cada término en $2 y = 5^{x} + 1$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}$

Paso 2.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y}{2} = \frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}$

Paso 2.3.3.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}$

Paso 3

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}$

Paso 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}$ es la inversa de $f (x) = \log_{5} (2 x - 1)$ .

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Paso 4.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 4.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 4.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 4.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\log_{5} (2 x - 1))$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\log_{5} (2 x - 1)) = \frac{5^{\log_{5} (2 x - 1)}}{2} + \frac{1}{2}$

Paso 4.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (\log_{5} (2 x - 1)) = \frac{5^{\log_{5} (2 x - 1)} + 1}{2}$

Paso 4.2.4

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f^{- 1} (\log_{5} (2 x - 1)) = \frac{2 x - 1 + 1}{2}$

Paso 4.2.5

Combina los términos opuestos en $2 x - 1 + 1$ .

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Paso 4.2.5.1

Suma $- 1$ y $1$ .

$f^{- 1} (\log_{5} (2 x - 1)) = \frac{2 x + 0}{2}$

Paso 4.2.5.2

Suma $2 x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\log_{5} (2 x - 1)) = \frac{2 x}{2}$

Paso 4.2.6

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.6.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\log_{5} (2 x - 1)) = \frac{2 x}{2}$

Paso 4.2.6.2

Divide $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (\log_{5} (2 x - 1)) = x$

Paso 4.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 4.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 4.3.2

Evalúa $f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = \log_{5} (2 (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) - 1)$

Paso 4.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = \log_{5} (2 (\frac{5^{x}}{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1)$

Paso 4.3.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.3.2.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = \log_{5} (2 (\frac{5^{x}}{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1)$

Paso 4.3.3.2.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = \log_{5} (5^{x} + 2 (\frac{1}{2}) - 1)$

Paso 4.3.3.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.3.3.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = \log_{5} (5^{x} + 2 (\frac{1}{2}) - 1)$

Paso 4.3.3.3.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = \log_{5} (5^{x} + 1 - 1)$

Paso 4.3.4

Combina los términos opuestos en $5^{x} + 1 - 1$ .

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Paso 4.3.4.1

Resta $1$ de $1$ .

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = \log_{5} (5^{x} + 0)$

Paso 4.3.4.2

Suma $5^{x}$ y $0$ .

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = \log_{5} (5^{x})$

Paso 4.3.5

Usa las reglas de logaritmos para mover $x$ fuera del exponente.

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = x \log_{5} (5)$

Paso 4.3.6

El logaritmo en base $5$ de $5$ es $1$ .

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = x \cdot 1$

Paso 4.3.7

Multiplica $x$ por $1$ .

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = x$

Paso 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}$ es la inversa de $f (x) = \log_{5} (2 x - 1)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}$