Precálculo Ejemplos

$x^{2} + x y + 2 y^{2} = 7$ , $x - 2 y = 5$

Paso 1

Suma $2 y$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 5 + 2 y$

$x^{2} + x y + 2 y^{2} = 7$

Paso 2

Reemplaza todos los casos de $x$ por $5 + 2 y$ en cada ecuación.

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Paso 2.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $x^{2} + x y + 2 y^{2} = 7$ por $5 + 2 y$ .

${(5 + 2 y)}^{2} + (5 + 2 y) \cdot y + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica ${(5 + 2 y)}^{2} + (5 + 2 y) \cdot y + 2 y^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1.1

Reescribe ${(5 + 2 y)}^{2}$ como $(5 + 2 y) (5 + 2 y)$ .

$(5 + 2 y) (5 + 2 y) + (5 + 2 y) \cdot y + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

Paso 2.2.1.1.2

Expande $(5 + 2 y) (5 + 2 y)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.2.1.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$5 (5 + 2 y) + 2 y (5 + 2 y) + (5 + 2 y) \cdot y + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

Paso 2.2.1.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$5 \cdot 5 + 5 (2 y) + 2 y (5 + 2 y) + (5 + 2 y) \cdot y + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

Paso 2.2.1.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$5 \cdot 5 + 5 (2 y) + 2 y \cdot 5 + 2 y (2 y) + (5 + 2 y) \cdot y + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

$5 \cdot 5 + 5 (2 y) + 2 y \cdot 5 + 2 y (2 y) + (5 + 2 y) \cdot y + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

Paso 2.2.1.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.2.1.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1.3.1.1

Multiplica $5$ por $5$ .

$25 + 5 (2 y) + 2 y \cdot 5 + 2 y (2 y) + (5 + 2 y) \cdot y + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

Paso 2.2.1.1.3.1.2

Multiplica $2$ por $5$ .

$25 + 10 y + 2 y \cdot 5 + 2 y (2 y) + (5 + 2 y) \cdot y + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

Paso 2.2.1.1.3.1.3

Multiplica $5$ por $2$ .

$25 + 10 y + 10 y + 2 y (2 y) + (5 + 2 y) \cdot y + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

Paso 2.2.1.1.3.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$25 + 10 y + 10 y + 2 \cdot (2 y \cdot y) + (5 + 2 y) \cdot y + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

Paso 2.2.1.1.3.1.5

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.1.1.3.1.5.1

Mueve $y$ .

$25 + 10 y + 10 y + 2 \cdot (2 (y \cdot y)) + (5 + 2 y) \cdot y + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

Paso 2.2.1.1.3.1.5.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$25 + 10 y + 10 y + 2 \cdot (2 y^{2}) + (5 + 2 y) \cdot y + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

$25 + 10 y + 10 y + 2 \cdot (2 y^{2}) + (5 + 2 y) \cdot y + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

Paso 2.2.1.1.3.1.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$25 + 10 y + 10 y + 4 y^{2} + (5 + 2 y) \cdot y + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

$25 + 10 y + 10 y + 4 y^{2} + (5 + 2 y) \cdot y + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

Paso 2.2.1.1.3.2

Suma $10 y$ y $10 y$ .

$25 + 20 y + 4 y^{2} + (5 + 2 y) \cdot y + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

$25 + 20 y + 4 y^{2} + (5 + 2 y) \cdot y + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

Paso 2.2.1.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$25 + 20 y + 4 y^{2} + 5 y + 2 y \cdot y + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

Paso 2.2.1.1.5

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.1.1.5.1

Mueve $y$ .

$25 + 20 y + 4 y^{2} + 5 y + 2 (y \cdot y) + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

Paso 2.2.1.1.5.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$25 + 20 y + 4 y^{2} + 5 y + 2 y^{2} + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

$25 + 20 y + 4 y^{2} + 5 y + 2 y^{2} + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

$25 + 20 y + 4 y^{2} + 5 y + 2 y^{2} + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

Paso 2.2.1.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 2.2.1.2.1

Suma $20 y$ y $5 y$ .

$25 + 4 y^{2} + 25 y + 2 y^{2} + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

Paso 2.2.1.2.2

Suma $4 y^{2}$ y $2 y^{2}$ .

$25 + 6 y^{2} + 25 y + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

Paso 2.2.1.2.3

Suma $6 y^{2}$ y $2 y^{2}$ .

$25 + 8 y^{2} + 25 y = 7$

$x = 5 + 2 y$

$25 + 8 y^{2} + 25 y = 7$

$x = 5 + 2 y$

$25 + 8 y^{2} + 25 y = 7$

$x = 5 + 2 y$

$25 + 8 y^{2} + 25 y = 7$

$x = 5 + 2 y$

$25 + 8 y^{2} + 25 y = 7$

$x = 5 + 2 y$

Paso 3

Resuelve $y$ en $25 + 8 y^{2} + 25 y = 7$ .

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Paso 3.1

Resta $7$ de ambos lados de la ecuación.

$25 + 8 y^{2} + 25 y - 7 = 0$

$x = 5 + 2 y$

Paso 3.2

Resta $7$ de $25$ .

$8 y^{2} + 25 y + 18 = 0$

$x = 5 + 2 y$

Paso 3.3

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.3.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 8 \cdot 18 = 144$ y cuya suma es $b = 25$ .

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Paso 3.3.1.1

Factoriza $25$ de $25 y$ .

$8 y^{2} + 25 (y) + 18 = 0$

$x = 5 + 2 y$

Paso 3.3.1.2

Reescribe $25$ como $9$ más $16$

$8 y^{2} + (9 + 16) y + 18 = 0$

$x = 5 + 2 y$

Paso 3.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$8 y^{2} + 9 y + 16 y + 18 = 0$

$x = 5 + 2 y$

$8 y^{2} + 9 y + 16 y + 18 = 0$

$x = 5 + 2 y$

Paso 3.3.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.3.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(8 y^{2} + 9 y) + 16 y + 18 = 0$

$x = 5 + 2 y$

Paso 3.3.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$y (8 y + 9) + 2 (8 y + 9) = 0$

$x = 5 + 2 y$

$y (8 y + 9) + 2 (8 y + 9) = 0$

$x = 5 + 2 y$

Paso 3.3.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $8 y + 9$ .

$(8 y + 9) (y + 2) = 0$

$x = 5 + 2 y$

$(8 y + 9) (y + 2) = 0$

$x = 5 + 2 y$

Paso 3.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$8 y + 9 = 0$

$y + 2 = 0$

$x = 5 + 2 y$

Paso 3.5

Establece $8 y + 9$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 3.5.1

Establece $8 y + 9$ igual a $0$ .

$8 y + 9 = 0$

$x = 5 + 2 y$

Paso 3.5.2

Resuelve $8 y + 9 = 0$ en $y$ .

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Paso 3.5.2.1

Resta $9$ de ambos lados de la ecuación.

$8 y = - 9$

$x = 5 + 2 y$

Paso 3.5.2.2

Divide cada término en $8 y = - 9$ por $8$ y simplifica.

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Paso 3.5.2.2.1

Divide cada término en $8 y = - 9$ por $8$ .

$\frac{8 y}{8} = \frac{- 9}{8}$

$x = 5 + 2 y$

Paso 3.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 3.5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{8 y}{8} = \frac{- 9}{8}$

$x = 5 + 2 y$

Paso 3.5.2.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 9}{8}$

$x = 5 + 2 y$

$y = \frac{- 9}{8}$

$x = 5 + 2 y$

$y = \frac{- 9}{8}$

$x = 5 + 2 y$

Paso 3.5.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{9}{8}$

$x = 5 + 2 y$

$y = - \frac{9}{8}$

$x = 5 + 2 y$

$y = - \frac{9}{8}$

$x = 5 + 2 y$

$y = - \frac{9}{8}$

$x = 5 + 2 y$

$y = - \frac{9}{8}$

$x = 5 + 2 y$

Paso 3.6

Establece $y + 2$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 3.6.1

Establece $y + 2$ igual a $0$ .

$y + 2 = 0$

$x = 5 + 2 y$

Paso 3.6.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$y = - 2$

$x = 5 + 2 y$

$y = - 2$

$x = 5 + 2 y$

Paso 3.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(8 y + 9) (y + 2) = 0$ verdadera.

$y = - \frac{9}{8}, - 2$

$x = 5 + 2 y$

$y = - \frac{9}{8}, - 2$

$x = 5 + 2 y$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $y$ por $- \frac{9}{8}$ en cada ecuación.

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Paso 4.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = 5 + 2 y$ por $- \frac{9}{8}$ .

$x = 5 + 2 (- \frac{9}{8})$

$y = - \frac{9}{8}$

Paso 4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.1

Simplifica $5 + 2 (- \frac{9}{8})$ .

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Paso 4.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.1.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{9}{8}$ al numerador.

$x = 5 + 2 (\frac{- 9}{8})$

$y = - \frac{9}{8}$

Paso 4.2.1.1.1.2

Factoriza $2$ de $8$ .

$x = 5 + 2 (\frac{- 9}{2 (4)})$

$y = - \frac{9}{8}$

Paso 4.2.1.1.1.3

Cancela el factor común.

$x = 5 + 2 (\frac{- 9}{2 \cdot 4})$

$y = - \frac{9}{8}$

Paso 4.2.1.1.1.4

Reescribe la expresión.

$x = 5 + \frac{- 9}{4}$

$y = - \frac{9}{8}$

$x = 5 + \frac{- 9}{4}$

$y = - \frac{9}{8}$

Paso 4.2.1.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = 5 - \frac{9}{4}$

$y = - \frac{9}{8}$

$x = 5 - \frac{9}{4}$

$y = - \frac{9}{8}$

Paso 4.2.1.2

Para escribir $5$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$x = 5 \cdot \frac{4}{4} - \frac{9}{4}$

$y = - \frac{9}{8}$

Paso 4.2.1.3

Combina $5$ y $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{5 \cdot 4}{4} - \frac{9}{4}$

$y = - \frac{9}{8}$

Paso 4.2.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{5 \cdot 4 - 9}{4}$

$y = - \frac{9}{8}$

Paso 4.2.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.1.5.1

Multiplica $5$ por $4$ .

$x = \frac{20 - 9}{4}$

$y = - \frac{9}{8}$

Paso 4.2.1.5.2

Resta $9$ de $20$ .

$x = \frac{11}{4}$

$y = - \frac{9}{8}$

$x = \frac{11}{4}$

$y = - \frac{9}{8}$

$x = \frac{11}{4}$

$y = - \frac{9}{8}$

$x = \frac{11}{4}$

$y = - \frac{9}{8}$

$x = \frac{11}{4}$

$y = - \frac{9}{8}$

Paso 5

Reemplaza todos los casos de $y$ por $- 2$ en cada ecuación.

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Paso 5.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = 5 + 2 y$ por $- 2$ .

$x = 5 + 2 (- 2)$

$y = - 2$

Paso 5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.1

Simplifica $5 + 2 (- 2)$ .

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Paso 5.2.1.1

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$x = 5 - 4$

$y = - 2$

Paso 5.2.1.2

Resta $4$ de $5$ .

$x = 1$

$y = - 2$

$x = 1$

$y = - 2$

$x = 1$

$y = - 2$

$x = 1$

$y = - 2$

Paso 6

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(\frac{11}{4}, - \frac{9}{8})$

$(1, - 2)$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de punto:

$(\frac{11}{4}, - \frac{9}{8}), (1, - 2)$

Forma de la ecuación:

$x = \frac{11}{4}, y = - \frac{9}{8}$

$x = 1, y = - 2$

Paso 8