Precálculo Ejemplos

$x^{2} + y^{2} + 10 x - 14 y = - 25$

Paso 1

Completa el cuadrado de $x^{2} + 10 x$ .

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Paso 1.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = 10$

$c = 0$

Paso 1.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{10}{2 \cdot 1}$

Paso 1.3.2

Cancela el factor común de $10$ y $2$ .

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Paso 1.3.2.1

Factoriza $2$ de $10$ .

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1}$

Paso 1.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 (1)}$

Paso 1.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1}$

Paso 1.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{5}{1}$

Paso 1.3.2.2.4

Divide $5$ por $1$ .

$d = 5$

Paso 1.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{10^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.2.1.1

Eleva $10$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{100}{4 \cdot 1}$

Paso 1.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{100}{4}$

Paso 1.4.2.1.3

Divide $100$ por $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 25$

Paso 1.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $25$ .

$e = 0 - 25$

Paso 1.4.2.2

Resta $25$ de $0$ .

$e = - 25$

Paso 1.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(x + 5)}^{2} - 25$ .

${(x + 5)}^{2} - 25$

Paso 2

Sustituye ${(x + 5)}^{2} - 25$ por $x^{2} + 10 x$ en la ecuación $x^{2} + y^{2} + 10 x - 14 y = - 25$ .

${(x + 5)}^{2} - 25 + y^{2} - 14 y = - 25$

Paso 3

Mueve $- 25$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $25$ a ambos lados.

${(x + 5)}^{2} + y^{2} - 14 y = - 25 + 25$

Paso 4

Completa el cuadrado de $y^{2} - 14 y$ .

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Paso 4.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = - 14$

$c = 0$

Paso 4.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 4.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 14}{2 \cdot 1}$

Paso 4.3.2

Cancela el factor común de $- 14$ y $2$ .

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Paso 4.3.2.1

Factoriza $2$ de $- 14$ .

$d = \frac{2 \cdot - 7}{2 \cdot 1}$

Paso 4.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 7}{2 (1)}$

Paso 4.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 7}{2 \cdot 1}$

Paso 4.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 7}{1}$

Paso 4.3.2.2.4

Divide $- 7$ por $1$ .

$d = - 7$

Paso 4.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 4.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 14)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 4.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.4.2.1.1

Eleva $- 14$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{196}{4 \cdot 1}$

Paso 4.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{196}{4}$

Paso 4.4.2.1.3

Divide $196$ por $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 49$

Paso 4.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $49$ .

$e = 0 - 49$

Paso 4.4.2.2

Resta $49$ de $0$ .

$e = - 49$

Paso 4.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(y - 7)}^{2} - 49$ .

${(y - 7)}^{2} - 49$

Paso 5

Sustituye ${(y - 7)}^{2} - 49$ por $y^{2} - 14 y$ en la ecuación $x^{2} + y^{2} + 10 x - 14 y = - 25$ .

${(x + 5)}^{2} + {(y - 7)}^{2} - 49 = - 25 + 25$

Paso 6

Mueve $- 49$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $49$ a ambos lados.

${(x + 5)}^{2} + {(y - 7)}^{2} = - 25 + 25 + 49$

Paso 7

Simplifica $- 25 + 25 + 49$ .

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Paso 7.1

Suma $- 25$ y $25$ .

${(x + 5)}^{2} + {(y - 7)}^{2} = 0 + 49$

Paso 7.2

Suma $0$ y $49$ .

${(x + 5)}^{2} + {(y - 7)}^{2} = 49$

Paso 8

Esta es la forma de un círculo. Usa esta forma para determinar el centro y el radio del círculo.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Paso 9

Haz coincidir los valores de este círculo con los de la ecuación ordinaria. La variable $r$ representa el radio del círculo, $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen y $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen.

$r = 7$

$h = - 5$

$k = 7$

Paso 10

El centro del círculo se ubica en $(h, k)$ .

Centro: $(- 5, 7)$

Paso 11

Estos valores representan los valores importantes para la representación gráfica y el análisis de un círculo.

Centro: $(- 5, 7)$

Radio: $7$

Paso 12