Precálculo Ejemplos

$f (x) = - 3 x^{2} + 15 x + 1$

Paso 1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1

Completa el cuadrado de $- 3 x^{2} + 15 x + 1$ .

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Paso 1.1.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - 3$

$b = 15$

$c = 1$

Paso 1.1.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.1.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.1.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{15}{2 \cdot - 3}$

Paso 1.1.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.3.2.1

Cancela el factor común de $15$ y $- 3$ .

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Paso 1.1.3.2.1.1

Factoriza $3$ de $15$ .

$d = \frac{3 (5)}{2 \cdot - 3}$

Paso 1.1.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.3.2.1.2.1

Factoriza $3$ de $2 \cdot - 3$ .

$d = \frac{3 (5)}{3 (2 \cdot - 1)}$

Paso 1.1.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{3 \cdot 5}{3 (2 \cdot - 1)}$

Paso 1.1.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{5}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.1.3.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$d = \frac{5}{- 2}$

Paso 1.1.3.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$d = - \frac{5}{2}$

Paso 1.1.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.1.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 1 - \frac{15^{2}}{4 \cdot - 3}$

Paso 1.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.4.2.1.1

Eleva $15$ a la potencia de $2$ .

$e = 1 - \frac{225}{4 \cdot - 3}$

Paso 1.1.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 3$ .

$e = 1 - \frac{225}{- 12}$

Paso 1.1.4.2.1.3

Cancela el factor común de $225$ y $- 12$ .

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Paso 1.1.4.2.1.3.1

Factoriza $3$ de $225$ .

$e = 1 - \frac{3 (75)}{- 12}$

Paso 1.1.4.2.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.4.2.1.3.2.1

Factoriza $3$ de $- 12$ .

$e = 1 - \frac{3 \cdot 75}{3 \cdot - 4}$

Paso 1.1.4.2.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$e = 1 - \frac{3 \cdot 75}{3 \cdot - 4}$

Paso 1.1.4.2.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$e = 1 - \frac{75}{- 4}$

Paso 1.1.4.2.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e = 1 - - \frac{75}{4}$

Paso 1.1.4.2.1.5

Multiplica $- - \frac{75}{4}$ .

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Paso 1.1.4.2.1.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e = 1 + 1 (\frac{75}{4})$

Paso 1.1.4.2.1.5.2

Multiplica $\frac{75}{4}$ por $1$ .

$e = 1 + \frac{75}{4}$

Paso 1.1.4.2.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$e = \frac{4}{4} + \frac{75}{4}$

Paso 1.1.4.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e = \frac{4 + 75}{4}$

Paso 1.1.4.2.4

Suma $4$ y $75$ .

$e = \frac{79}{4}$

Paso 1.1.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- 3 {(x - \frac{5}{2})}^{2} + \frac{79}{4}$ .

$- 3 {(x - \frac{5}{2})}^{2} + \frac{79}{4}$

Paso 1.2

Establece $y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = - 3 {(x - \frac{5}{2})}^{2} + \frac{79}{4}$

Paso 2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = - 3$

$h = \frac{5}{2}$

$k = \frac{79}{4}$

Paso 3

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(\frac{5}{2}, \frac{79}{4})$

Paso 4