Precálculo Ejemplos

$16 y^{2} - x^{2} + 2 x + 64 y + 63 = 0$

Paso 1

Resuelve $y$

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Paso 1.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 1.2

Sustituye los valores $a = 16$ , $b = 64$ y $c = - x^{2} + 2 x + 63$ en la fórmula cuadrática y resuelve $y$ .

$\frac{- 64 \pm \sqrt{64^{2} - 4 \cdot (16 \cdot (- x^{2} + 2 x + 63))}}{2 \cdot 16}$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.1.1

Eleva $64$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{4096 - 4 \cdot 16 \cdot (- x^{2} + 2 x + 63)}}{2 \cdot 16}$

Paso 1.3.1.2

Multiplica $- 4$ por $16$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{4096 - 64 \cdot (- x^{2} + 2 x + 63)}}{2 \cdot 16}$

Paso 1.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{4096 - 64 (- x^{2}) - 64 (2 x) - 64 \cdot 63}}{2 \cdot 16}$

Paso 1.3.1.4

Simplifica.

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Paso 1.3.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 64$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{4096 + 64 x^{2} - 64 (2 x) - 64 \cdot 63}}{2 \cdot 16}$

Paso 1.3.1.4.2

Multiplica $2$ por $- 64$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{4096 + 64 x^{2} - 128 x - 64 \cdot 63}}{2 \cdot 16}$

Paso 1.3.1.4.3

Multiplica $- 64$ por $63$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{4096 + 64 x^{2} - 128 x - 4032}}{2 \cdot 16}$

Paso 1.3.1.5

Resta $4032$ de $4096$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 x^{2} - 128 x + 64}}{2 \cdot 16}$

Paso 1.3.1.6

Reescribe $64 x^{2} - 128 x + 64$ en forma factorizada.

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Paso 1.3.1.6.1

Factoriza $64$ de $64 x^{2} - 128 x + 64$ .

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Paso 1.3.1.6.1.1

Factoriza $64$ de $64 x^{2}$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2}) - 128 x + 64}}{2 \cdot 16}$

Paso 1.3.1.6.1.2

Factoriza $64$ de $- 128 x$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2}) + 64 (- 2 x) + 64}}{2 \cdot 16}$

Paso 1.3.1.6.1.3

Factoriza $64$ de $64$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2}) + 64 (- 2 x) + 64 (1)}}{2 \cdot 16}$

Paso 1.3.1.6.1.4

Factoriza $64$ de $64 (x^{2}) + 64 (- 2 x)$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2} - 2 x) + 64 (1)}}{2 \cdot 16}$

Paso 1.3.1.6.1.5

Factoriza $64$ de $64 (x^{2} - 2 x) + 64 (1)$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2} - 2 x + 1)}}{2 \cdot 16}$

Paso 1.3.1.6.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 1.3.1.6.2.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2} - 2 x + 1^{2})}}{2 \cdot 16}$

Paso 1.3.1.6.2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Paso 1.3.1.6.2.3

Reescribe el polinomio.

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})}}{2 \cdot 16}$

Paso 1.3.1.6.2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 {(x - 1)}^{2}}}{2 \cdot 16}$

Paso 1.3.1.7

Reescribe $64 {(x - 1)}^{2}$ como ${(8 (x - 1))}^{2}$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{{(8 (x - 1))}^{2}}}{2 \cdot 16}$

Paso 1.3.1.8

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$y = \frac{- 64 \pm 8 (x - 1)}{2 \cdot 16}$

Paso 1.3.1.9

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- 64 \pm (8 x + 8 \cdot - 1)}{2 \cdot 16}$

Paso 1.3.1.10

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$y = \frac{- 64 \pm (8 x - 8)}{2 \cdot 16}$

Paso 1.3.2

Multiplica $2$ por $16$ .

$y = \frac{- 64 \pm (8 x - 8)}{32}$

Paso 1.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 1.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.4.1.1

Eleva $64$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{4096 - 4 \cdot 16 \cdot (- x^{2} + 2 x + 63)}}{2 \cdot 16}$

Paso 1.4.1.2

Multiplica $- 4$ por $16$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{4096 - 64 \cdot (- x^{2} + 2 x + 63)}}{2 \cdot 16}$

Paso 1.4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{4096 - 64 (- x^{2}) - 64 (2 x) - 64 \cdot 63}}{2 \cdot 16}$

Paso 1.4.1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 64$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{4096 + 64 x^{2} - 64 (2 x) - 64 \cdot 63}}{2 \cdot 16}$

Paso 1.4.1.4.2

Multiplica $2$ por $- 64$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{4096 + 64 x^{2} - 128 x - 64 \cdot 63}}{2 \cdot 16}$

Paso 1.4.1.4.3

Multiplica $- 64$ por $63$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{4096 + 64 x^{2} - 128 x - 4032}}{2 \cdot 16}$

Paso 1.4.1.5

Resta $4032$ de $4096$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 x^{2} - 128 x + 64}}{2 \cdot 16}$

Paso 1.4.1.6

Reescribe $64 x^{2} - 128 x + 64$ en forma factorizada.

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Paso 1.4.1.6.1

Factoriza $64$ de $64 x^{2} - 128 x + 64$ .

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Paso 1.4.1.6.1.1

Factoriza $64$ de $64 x^{2}$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2}) - 128 x + 64}}{2 \cdot 16}$

Paso 1.4.1.6.1.2

Factoriza $64$ de $- 128 x$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2}) + 64 (- 2 x) + 64}}{2 \cdot 16}$

Paso 1.4.1.6.1.3

Factoriza $64$ de $64$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2}) + 64 (- 2 x) + 64 (1)}}{2 \cdot 16}$

Paso 1.4.1.6.1.4

Factoriza $64$ de $64 (x^{2}) + 64 (- 2 x)$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2} - 2 x) + 64 (1)}}{2 \cdot 16}$

Paso 1.4.1.6.1.5

Factoriza $64$ de $64 (x^{2} - 2 x) + 64 (1)$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2} - 2 x + 1)}}{2 \cdot 16}$

Paso 1.4.1.6.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 1.4.1.6.2.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2} - 2 x + 1^{2})}}{2 \cdot 16}$

Paso 1.4.1.6.2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Paso 1.4.1.6.2.3

Reescribe el polinomio.

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})}}{2 \cdot 16}$

Paso 1.4.1.6.2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 {(x - 1)}^{2}}}{2 \cdot 16}$

Paso 1.4.1.7

Reescribe $64 {(x - 1)}^{2}$ como ${(8 (x - 1))}^{2}$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{{(8 (x - 1))}^{2}}}{2 \cdot 16}$

Paso 1.4.1.8

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$y = \frac{- 64 \pm 8 (x - 1)}{2 \cdot 16}$

Paso 1.4.1.9

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- 64 \pm (8 x + 8 \cdot - 1)}{2 \cdot 16}$

Paso 1.4.1.10

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$y = \frac{- 64 \pm (8 x - 8)}{2 \cdot 16}$

Paso 1.4.2

Multiplica $2$ por $16$ .

$y = \frac{- 64 \pm (8 x - 8)}{32}$

Paso 1.4.3

Cambia $\pm$ a $+$ .

$y = \frac{- 64 + 8 x - 8}{32}$

Paso 1.4.4

Cancela el factor común de $- 64 + 8 x - 8$ y $32$ .

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Paso 1.4.4.1

Factoriza $8$ de $- 64$ .

$y = \frac{8 (- 8) + 8 x - 8}{32}$

Paso 1.4.4.2

Factoriza $8$ de $8 x$ .

$y = \frac{8 (- 8) + 8 (x) - 8}{32}$

Paso 1.4.4.3

Factoriza $8$ de $- 8$ .

$y = \frac{8 \cdot - 8 + 8 (x) + 8 \cdot - 1}{32}$

Paso 1.4.4.4

Factoriza $8$ de $8 (x) + 8 (- 1)$ .

$y = \frac{8 (- 8) + 8 (x - 1)}{32}$

Paso 1.4.4.5

Factoriza $8$ de $8 (- 8) + 8 (x - 1)$ .

$y = \frac{8 (- 8 + x - 1)}{32}$

Paso 1.4.4.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.4.4.6.1

Factoriza $8$ de $32$ .

$y = \frac{8 (- 8 + x - 1)}{8 \cdot 4}$

Paso 1.4.4.6.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{8 (- 8 + x - 1)}{8 \cdot 4}$

Paso 1.4.4.6.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{- 8 + x - 1}{4}$

Paso 1.4.5

Resta $1$ de $- 8$ .

$y = \frac{x - 9}{4}$

Paso 1.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 1.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.5.1.1

Eleva $64$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{4096 - 4 \cdot 16 \cdot (- x^{2} + 2 x + 63)}}{2 \cdot 16}$

Paso 1.5.1.2

Multiplica $- 4$ por $16$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{4096 - 64 \cdot (- x^{2} + 2 x + 63)}}{2 \cdot 16}$

Paso 1.5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{4096 - 64 (- x^{2}) - 64 (2 x) - 64 \cdot 63}}{2 \cdot 16}$

Paso 1.5.1.4

Simplifica.

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Paso 1.5.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 64$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{4096 + 64 x^{2} - 64 (2 x) - 64 \cdot 63}}{2 \cdot 16}$

Paso 1.5.1.4.2

Multiplica $2$ por $- 64$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{4096 + 64 x^{2} - 128 x - 64 \cdot 63}}{2 \cdot 16}$

Paso 1.5.1.4.3

Multiplica $- 64$ por $63$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{4096 + 64 x^{2} - 128 x - 4032}}{2 \cdot 16}$

Paso 1.5.1.5

Resta $4032$ de $4096$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 x^{2} - 128 x + 64}}{2 \cdot 16}$

Paso 1.5.1.6

Reescribe $64 x^{2} - 128 x + 64$ en forma factorizada.

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Paso 1.5.1.6.1

Factoriza $64$ de $64 x^{2} - 128 x + 64$ .

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Paso 1.5.1.6.1.1

Factoriza $64$ de $64 x^{2}$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2}) - 128 x + 64}}{2 \cdot 16}$

Paso 1.5.1.6.1.2

Factoriza $64$ de $- 128 x$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2}) + 64 (- 2 x) + 64}}{2 \cdot 16}$

Paso 1.5.1.6.1.3

Factoriza $64$ de $64$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2}) + 64 (- 2 x) + 64 (1)}}{2 \cdot 16}$

Paso 1.5.1.6.1.4

Factoriza $64$ de $64 (x^{2}) + 64 (- 2 x)$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2} - 2 x) + 64 (1)}}{2 \cdot 16}$

Paso 1.5.1.6.1.5

Factoriza $64$ de $64 (x^{2} - 2 x) + 64 (1)$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2} - 2 x + 1)}}{2 \cdot 16}$

Paso 1.5.1.6.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 1.5.1.6.2.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2} - 2 x + 1^{2})}}{2 \cdot 16}$

Paso 1.5.1.6.2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Paso 1.5.1.6.2.3

Reescribe el polinomio.

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})}}{2 \cdot 16}$

Paso 1.5.1.6.2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 {(x - 1)}^{2}}}{2 \cdot 16}$

Paso 1.5.1.7

Reescribe $64 {(x - 1)}^{2}$ como ${(8 (x - 1))}^{2}$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{{(8 (x - 1))}^{2}}}{2 \cdot 16}$

Paso 1.5.1.8

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$y = \frac{- 64 \pm 8 (x - 1)}{2 \cdot 16}$

Paso 1.5.1.9

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- 64 \pm (8 x + 8 \cdot - 1)}{2 \cdot 16}$

Paso 1.5.1.10

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$y = \frac{- 64 \pm (8 x - 8)}{2 \cdot 16}$

Paso 1.5.2

Multiplica $2$ por $16$ .

$y = \frac{- 64 \pm (8 x - 8)}{32}$

Paso 1.5.3

Cambia $\pm$ a $-$ .

$y = \frac{- 64 - (8 x - 8)}{32}$

Paso 1.5.4

Cancela el factor común de $- 64 - (8 x - 8)$ y $32$ .

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Paso 1.5.4.1

Reescribe $- 64$ como $- 1 (64)$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 64 - (8 x - 8)}{32}$

Paso 1.5.4.2

Factoriza $- 1$ de $- 1 (64) - (8 x - 8)$ .

$y = \frac{- 1 (64 + 8 x - 8)}{32}$

Paso 1.5.4.3

Factoriza $8$ de $- 1 (64 + 8 x - 8)$ .

$y = \frac{8 (- 1 (8 + x - 1))}{32}$

Paso 1.5.4.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.4.4.1

Factoriza $8$ de $32$ .

$y = \frac{8 (- 1 (8 + x - 1))}{8 (4)}$

Paso 1.5.4.4.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{8 (- 1 (8 + x - 1))}{8 \cdot 4}$

Paso 1.5.4.4.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{- 1 (8 + x - 1)}{4}$

Paso 1.5.5

Resta $1$ de $8$ .

$y = \frac{- 1 (x + 7)}{4}$

Paso 1.5.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{x + 7}{4}$

Paso 1.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$y = \frac{x - 9}{4}$

$y = - \frac{x + 7}{4}$

$y = \frac{x - 9}{4}$

$y = - \frac{x + 7}{4}$

Paso 2

Para escribir un polinomio en una ecuación ordinaria, simplifica y luego organiza los términos en orden descendente.

$y = a x^{2} + b x + c$

Paso 3

Divide la fracción $\frac{x - 9}{4}$ en dos fracciones.

$y = \frac{x}{4} + \frac{- 9}{4}$

$y = - \frac{x + 7}{4}$

Paso 4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{x}{4} - \frac{9}{4}$

$y = - \frac{x + 7}{4}$

Paso 5

Divide la fracción $\frac{x + 7}{4}$ en dos fracciones.

$y = \frac{x}{4} - \frac{9}{4}$

$y = - (\frac{x}{4} + \frac{7}{4})$

Paso 6

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{x}{4} - \frac{9}{4}$

$y = - \frac{x}{4} - \frac{7}{4}$

Paso 7

Reordena los términos.

$y = \frac{1}{4} x - \frac{9}{4}$

$y = - (\frac{1}{4} x) - \frac{7}{4}$

Paso 8

Elimina los paréntesis.

$y = \frac{1}{4} x - \frac{9}{4}$

$y = - \frac{1}{4} x - \frac{7}{4}$

Paso 9