Precálculo Ejemplos

$\frac{7 x + 6}{(x + 6) (6 x - 1)}$

Paso 1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 1.1

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $A$ .

$\frac{A}{x + 6}$

Paso 1.2

$\frac{A}{x + 6} + \frac{B}{6 x - 1}$

Paso 1.3

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $(x + 6) (6 x - 1)$ .

$\frac{(7 x + 6) (x + 6) (6 x - 1)}{(x + 6) (6 x - 1)} = \frac{(A) (x + 6) (6 x - 1)}{x + 6} + \frac{(B) (x + 6) (6 x - 1)}{6 x - 1}$

Paso 1.4

Cancela el factor común de $x + 6$ .

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Paso 1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{(7 x + 6) (x + 6) (6 x - 1)}{(x + 6) (6 x - 1)} = \frac{(A) (x + 6) (6 x - 1)}{x + 6} + \frac{(B) (x + 6) (6 x - 1)}{6 x - 1}$

Paso 1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(7 x + 6) (6 x - 1)}{6 x - 1} = \frac{(A) (x + 6) (6 x - 1)}{x + 6} + \frac{(B) (x + 6) (6 x - 1)}{6 x - 1}$

Paso 1.5

Cancela el factor común de $6 x - 1$ .

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Paso 1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{(7 x + 6) (6 x - 1)}{6 x - 1} = \frac{(A) (x + 6) (6 x - 1)}{x + 6} + \frac{(B) (x + 6) (6 x - 1)}{6 x - 1}$

Paso 1.5.2

Divide $7 x + 6$ por $1$ .

$7 x + 6 = \frac{(A) (x + 6) (6 x - 1)}{x + 6} + \frac{(B) (x + 6) (6 x - 1)}{6 x - 1}$

Paso 1.6

Simplifica cada término.

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Paso 1.6.1

Cancela el factor común de $x + 6$ .

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Paso 1.6.1.1

Cancela el factor común.

$7 x + 6 = \frac{A (x + 6) (6 x - 1)}{x + 6} + \frac{(B) (x + 6) (6 x - 1)}{6 x - 1}$

Paso 1.6.1.2

Divide $(A) (6 x - 1)$ por $1$ .

$7 x + 6 = (A) (6 x - 1) + \frac{(B) (x + 6) (6 x - 1)}{6 x - 1}$

Paso 1.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$7 x + 6 = A (6 x) + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x + 6) (6 x - 1)}{6 x - 1}$

Paso 1.6.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$7 x + 6 = 6 A x + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x + 6) (6 x - 1)}{6 x - 1}$

Paso 1.6.4

Mueve $- 1$ a la izquierda de $A$ .

$7 x + 6 = 6 A x - 1 \cdot A + \frac{(B) (x + 6) (6 x - 1)}{6 x - 1}$

Paso 1.6.5

Reescribe $- 1 A$ como $- A$ .

$7 x + 6 = 6 A x - A + \frac{(B) (x + 6) (6 x - 1)}{6 x - 1}$

Paso 1.6.6

Cancela el factor común de $6 x - 1$ .

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Paso 1.6.6.1

Cancela el factor común.

$7 x + 6 = 6 A x - A + \frac{(B) (x + 6) (6 x - 1)}{6 x - 1}$

Paso 1.6.6.2

Divide $(B) (x + 6)$ por $1$ .

$7 x + 6 = 6 A x - A + (B) (x + 6)$

Paso 1.6.7

Aplica la propiedad distributiva.

$7 x + 6 = 6 A x - A + B x + B \cdot 6$

Paso 1.6.8

Mueve $6$ a la izquierda de $B$ .

$7 x + 6 = 6 A x - A + B x + 6 B$

Paso 1.7

Simplifica la expresión.

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Paso 1.7.1

Mueve $A$ .

$7 x + 6 = 6 x A - A + B x + 6 B$

Paso 1.7.2

Reordena $B$ y $x$ .

$7 x + 6 = 6 x A - A + B x + 6 B$

Paso 1.7.3

Mueve $- A$ .

$7 x + 6 = 6 x A + B x - A + 6 B$

Paso 2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$7 = 6 A + B$

Paso 2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$6 = - 1 A + 6 B$

Paso 2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$7 = 6 A + B$

$6 = - 1 A + 6 B$

$7 = 6 A + B$

$6 = - 1 A + 6 B$

Paso 3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 3.1

Resuelve $B$ en $7 = 6 A + B$ .

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Paso 3.1.1

Reescribe la ecuación como $6 A + B = 7$ .

$6 A + B = 7$

$6 = - 1 A + 6 B$

Paso 3.1.2

Resta $6 A$ de ambos lados de la ecuación.

$B = 7 - 6 A$

$6 = - 1 A + 6 B$

$B = 7 - 6 A$

$6 = - 1 A + 6 B$

Paso 3.2

Reemplaza todos los casos de $B$ por $7 - 6 A$ en cada ecuación.

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Paso 3.2.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $6 = - 1 A + 6 B$ por $7 - 6 A$ .

$6 = - 1 A + 6 (7 - 6 A)$

$B = 7 - 6 A$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $- 1 A + 6 (7 - 6 A)$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1.1.1

Reescribe $- 1 A$ como $- A$ .

$6 = - A + 6 (7 - 6 A)$

$B = 7 - 6 A$

Paso 3.2.2.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$6 = - A + 6 \cdot 7 + 6 (- 6 A)$

$B = 7 - 6 A$

Paso 3.2.2.1.1.3

Multiplica $6$ por $7$ .

$6 = - A + 42 + 6 (- 6 A)$

$B = 7 - 6 A$

Paso 3.2.2.1.1.4

Multiplica $- 6$ por $6$ .

$6 = - A + 42 - 36 A$

$B = 7 - 6 A$

$6 = - A + 42 - 36 A$

$B = 7 - 6 A$

Paso 3.2.2.1.2

Resta $36 A$ de $- A$ .

$6 = - 37 A + 42$

$B = 7 - 6 A$

$6 = - 37 A + 42$

$B = 7 - 6 A$

$6 = - 37 A + 42$

$B = 7 - 6 A$

$6 = - 37 A + 42$

$B = 7 - 6 A$

Paso 3.3

Resuelve $A$ en $6 = - 37 A + 42$ .

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $- 37 A + 42 = 6$ .

$- 37 A + 42 = 6$

$B = 7 - 6 A$

Paso 3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $A$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Resta $42$ de ambos lados de la ecuación.

$- 37 A = 6 - 42$

$B = 7 - 6 A$

Paso 3.3.2.2

Resta $42$ de $6$ .

$- 37 A = - 36$

$B = 7 - 6 A$

$- 37 A = - 36$

$B = 7 - 6 A$

Paso 3.3.3

Divide cada término en $- 37 A = - 36$ por $- 37$ y simplifica.

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Paso 3.3.3.1

Divide cada término en $- 37 A = - 36$ por $- 37$ .

$\frac{- 37 A}{- 37} = \frac{- 36}{- 37}$

$B = 7 - 6 A$

Paso 3.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.3.2.1

Cancela el factor común de $- 37$ .

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Paso 3.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 37 A}{- 37} = \frac{- 36}{- 37}$

$B = 7 - 6 A$

Paso 3.3.3.2.1.2

Divide $A$ por $1$ .

$A = \frac{- 36}{- 37}$

$B = 7 - 6 A$

$A = \frac{- 36}{- 37}$

$B = 7 - 6 A$

$A = \frac{- 36}{- 37}$

$B = 7 - 6 A$

Paso 3.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$A = \frac{36}{37}$

$B = 7 - 6 A$

$A = \frac{36}{37}$

$B = 7 - 6 A$

$A = \frac{36}{37}$

$B = 7 - 6 A$

$A = \frac{36}{37}$

$B = 7 - 6 A$

Paso 3.4

Reemplaza todos los casos de $A$ por $\frac{36}{37}$ en cada ecuación.

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Paso 3.4.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $B = 7 - 6 A$ por $\frac{36}{37}$ .

$B = 7 - 6 (\frac{36}{37})$

$A = \frac{36}{37}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.1

Simplifica $7 - 6 (\frac{36}{37})$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.2.1.1.1

Multiplica $- 6 (\frac{36}{37})$ .

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Paso 3.4.2.1.1.1.1

Combina $- 6$ y $\frac{36}{37}$ .

$B = 7 + \frac{- 6 \cdot 36}{37}$

$A = \frac{36}{37}$

Paso 3.4.2.1.1.1.2

Multiplica $- 6$ por $36$ .

$B = 7 + \frac{- 216}{37}$

$A = \frac{36}{37}$

$B = 7 + \frac{- 216}{37}$

$A = \frac{36}{37}$

Paso 3.4.2.1.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$B = 7 - \frac{216}{37}$

$A = \frac{36}{37}$

$B = 7 - \frac{216}{37}$

$A = \frac{36}{37}$

Paso 3.4.2.1.2

Para escribir $7$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{37}{37}$ .

$B = 7 \cdot \frac{37}{37} - \frac{216}{37}$

$A = \frac{36}{37}$

Paso 3.4.2.1.3

Combina $7$ y $\frac{37}{37}$ .

$B = \frac{7 \cdot 37}{37} - \frac{216}{37}$

$A = \frac{36}{37}$

Paso 3.4.2.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$B = \frac{7 \cdot 37 - 216}{37}$

$A = \frac{36}{37}$

Paso 3.4.2.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.2.1.5.1

Multiplica $7$ por $37$ .

$B = \frac{259 - 216}{37}$

$A = \frac{36}{37}$

Paso 3.4.2.1.5.2

Resta $216$ de $259$ .

$B = \frac{43}{37}$

$A = \frac{36}{37}$

$B = \frac{43}{37}$

$A = \frac{36}{37}$

$B = \frac{43}{37}$

$A = \frac{36}{37}$

$B = \frac{43}{37}$

$A = \frac{36}{37}$

$B = \frac{43}{37}$

$A = \frac{36}{37}$

Paso 3.5

Enumera todas las soluciones.

$B = \frac{43}{37}, A = \frac{36}{37}$

Paso 4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{x + 6} + \frac{B}{6 x - 1}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$\frac{\frac{36}{37}}{x + 6} + \frac{\frac{43}{37}}{6 x - 1}$