Precálculo Ejemplos

$\frac{x - 4}{x^{2} (x - 1)}$

Paso 1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 1.1

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $C$ .

$\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C}{x - 1}$

Paso 1.2

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $x^{2} (x - 1)$ .

$\frac{(x - 4) (x^{2} (x - 1))}{x^{2} (x - 1)} = \frac{A (x^{2} (x - 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Paso 1.3

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x - 4) (x^{2} (x - 1))}{x^{2} (x - 1)} = \frac{A (x^{2} (x - 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Paso 1.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(x - 4) (x - 1)}{x - 1} = \frac{A (x^{2} (x - 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Paso 1.4

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x - 4) (x - 1)}{x - 1} = \frac{A (x^{2} (x - 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Paso 1.4.2

Divide $x - 4$ por $1$ .

$x - 4 = \frac{A (x^{2} (x - 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Paso 1.5

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 1.5.1.1

Cancela el factor común.

$x - 4 = \frac{A (x^{2} (x - 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Paso 1.5.1.2

Divide $A (x - 1)$ por $1$ .

$x - 4 = A (x - 1) + \frac{B (x^{2} (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Paso 1.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x - 4 = A x + A \cdot - 1 + \frac{B (x^{2} (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Paso 1.5.3

Mueve $- 1$ a la izquierda de $A$ .

$x - 4 = A x - 1 \cdot A + \frac{B (x^{2} (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Paso 1.5.4

Reescribe $- 1 A$ como $- A$ .

$x - 4 = A x - A + \frac{B (x^{2} (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Paso 1.5.5

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 1.5.5.1

Factoriza $x$ de $B (x^{2} (x - 1))$ .

$x - 4 = A x - A + \frac{x (B (x (x - 1)))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Paso 1.5.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.5.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x - 4 = A x - A + \frac{x (B (x (x - 1)))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Paso 1.5.5.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$x - 4 = A x - A + \frac{x (B (x (x - 1)))}{x \cdot 1} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Paso 1.5.5.2.3

Cancela el factor común.

$x - 4 = A x - A + \frac{x (B (x (x - 1)))}{x \cdot 1} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Paso 1.5.5.2.4

Reescribe la expresión.

$x - 4 = A x - A + \frac{B (x (x - 1))}{1} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Paso 1.5.5.2.5

Divide $B (x (x - 1))$ por $1$ .

$x - 4 = A x - A + B (x (x - 1)) + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Paso 1.5.6

Aplica la propiedad distributiva.

$x - 4 = A x - A + B (x \cdot x + x \cdot - 1) + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Paso 1.5.7

Multiplica $x$ por $x$ .

$x - 4 = A x - A + B (x^{2} + x \cdot - 1) + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Paso 1.5.8

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$x - 4 = A x - A + B (x^{2} - 1 \cdot x) + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Paso 1.5.9

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$x - 4 = A x - A + B (x^{2} - x) + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Paso 1.5.10

Aplica la propiedad distributiva.

$x - 4 = A x - A + B x^{2} + B (- x) + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Paso 1.5.11

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x - 4 = A x - A + B x^{2} - B x + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Paso 1.5.12

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 1.5.12.1

Cancela el factor común.

$x - 4 = A x - A + B x^{2} - B x + \frac{C (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Paso 1.5.12.2

Divide $(C) (x^{2})$ por $1$ .

$x - 4 = A x - A + B x^{2} - B x + (C) (x^{2})$

$x - 4 = A x - A + B x^{2} - B x + C x^{2}$

Paso 1.6

Simplifica la expresión.

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Paso 1.6.1

Mueve $B$ .

$x - 4 = A x - A + B x^{2} - x B + C x^{2}$

Paso 1.6.2

Mueve $- A$ .

$x - 4 = A x + B x^{2} - x B + C x^{2} - A$

Paso 1.6.3

Mueve $- x B$ .

$x - 4 = A x + B x^{2} + C x^{2} - x B - A$

Paso 1.6.4

Mueve $A x$ .

$x - 4 = B x^{2} + C x^{2} + A x - x B - A$

Paso 2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x^{2}$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = B + C$

Paso 2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = A - 1 B$

Paso 2.3

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$- 4 = - 1 A$

Paso 2.4

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$0 = B + C$

$1 = A - 1 B$

$- 4 = - 1 A$

$0 = B + C$

$1 = A - 1 B$

$- 4 = - 1 A$

Paso 3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 3.1

Resuelve $A$ en $- 4 = - 1 A$ .

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Paso 3.1.1

Reescribe la ecuación como $- 1 A = - 4$ .

$- 1 A = - 4$

$0 = B + C$

$1 = A - 1 B$

Paso 3.1.2

Divide cada término en $- 1 A = - 4$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.1.2.1

Divide cada término en $- 1 A = - 4$ por $- 1$ .

$\frac{- 1 A}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

$0 = B + C$

$1 = A - 1 B$

Paso 3.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{A}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

$0 = B + C$

$1 = A - 1 B$

Paso 3.1.2.2.2

Divide $A$ por $1$ .

$A = \frac{- 4}{- 1}$

$0 = B + C$

$1 = A - 1 B$

$A = \frac{- 4}{- 1}$

$0 = B + C$

$1 = A - 1 B$

Paso 3.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1.2.3.1

Divide $- 4$ por $- 1$ .

$A = 4$

$0 = B + C$

$1 = A - 1 B$

$A = 4$

$0 = B + C$

$1 = A - 1 B$

$A = 4$

$0 = B + C$

$1 = A - 1 B$

$A = 4$

$0 = B + C$

$1 = A - 1 B$

Paso 3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $4$ en cada ecuación.

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Paso 3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $1 = A - 1 B$ por $4$ .

$1 = (4) - 1 B$

$A = 4$

$0 = B + C$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Reescribe $- 1 B$ como $- B$ .

$1 = 4 - B$

$A = 4$

$0 = B + C$

$1 = 4 - B$

$A = 4$

$0 = B + C$

$1 = 4 - B$

$A = 4$

$0 = B + C$

Paso 3.3

Resuelve $B$ en $1 = 4 - B$ .

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $4 - B = 1$ .

$4 - B = 1$

$A = 4$

$0 = B + C$

Paso 3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $B$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$- B = 1 - 4$

$A = 4$

$0 = B + C$

Paso 3.3.2.2

Resta $4$ de $1$ .

$- B = - 3$

$A = 4$

$0 = B + C$

$- B = - 3$

$A = 4$

$0 = B + C$

Paso 3.3.3

Divide cada término en $- B = - 3$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.3.3.1

Divide cada término en $- B = - 3$ por $- 1$ .

$\frac{- B}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

$A = 4$

$0 = B + C$

Paso 3.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.3.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{B}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

$A = 4$

$0 = B + C$

Paso 3.3.3.2.2

Divide $B$ por $1$ .

$B = \frac{- 3}{- 1}$

$A = 4$

$0 = B + C$

$B = \frac{- 3}{- 1}$

$A = 4$

$0 = B + C$

Paso 3.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.3.1

Divide $- 3$ por $- 1$ .

$B = 3$

$A = 4$

$0 = B + C$

$B = 3$

$A = 4$

$0 = B + C$

$B = 3$

$A = 4$

$0 = B + C$

$B = 3$

$A = 4$

$0 = B + C$

Paso 3.4

Reemplaza todos los casos de $B$ por $3$ en cada ecuación.

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Paso 3.4.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $0 = B + C$ por $3$ .

$0 = (3) + C$

$B = 3$

$A = 4$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.1

Elimina los paréntesis.

$0 = 3 + C$

$B = 3$

$A = 4$

$0 = 3 + C$

$B = 3$

$A = 4$

$0 = 3 + C$

$B = 3$

$A = 4$

Paso 3.5

Resuelve $C$ en $0 = 3 + C$ .

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Paso 3.5.1

Reescribe la ecuación como $3 + C = 0$ .

$3 + C = 0$

$B = 3$

$A = 4$

Paso 3.5.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$C = - 3$

$B = 3$

$A = 4$

$C = - 3$

$B = 3$

$A = 4$

Paso 3.6

Resuelve el sistema de ecuaciones.

$C = - 3 B = 3 A = 4$

Paso 3.7

Enumera todas las soluciones.

$C = - 3, B = 3, A = 4$

Paso 4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C}{x - 1}$ con los valores obtenidos para $A$ , $B$ y $C$ .

$\frac{4}{x^{2}} + \frac{3}{x} + \frac{- 3}{x - 1}$