Precálculo Ejemplos

$y = 2^{x} - 3$

Paso 1

Intercambia las variables.

$x = 2^{y} - 3$

Paso 2

Resuelve $y$

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación como $2^{y} - 3 = x$ .

$2^{y} - 3 = x$

Paso 2.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$2^{y} = x + 3$

Paso 2.3

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (2^{y}) = \ln (x + 3)$

Paso 2.4

Expande $\ln (2^{y})$ ; para ello, mueve $y$ fuera del logaritmo.

$y \ln (2) = \ln (x + 3)$

Paso 2.5

Divide cada término en $y \ln (2) = \ln (x + 3)$ por $\ln (2)$ y simplifica.

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Paso 2.5.1

Divide cada término en $y \ln (2) = \ln (x + 3)$ por $\ln (2)$ .

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (x + 3)}{\ln (2)}$

Paso 2.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.5.2.1

Cancela el factor común de $\ln (2)$ .

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Paso 2.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (x + 3)}{\ln (2)}$

Paso 2.5.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (x + 3)}{\ln (2)}$

Paso 3

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 3)}{\ln (2)}$

Paso 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 3)}{\ln (2)}$ es la inversa de $f (x) = 2^{x} - 3$ .

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Paso 4.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 4.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 4.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 4.2.2

Evalúa $f^{- 1} (2^{x} - 3)$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2^{x} - 3) = \frac{\ln ((2^{x} - 3) + 3)}{\ln (2)}$

Paso 4.2.3

Combina los términos opuestos en $2^{x} - 3 + 3$ .

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Paso 4.2.3.1

Suma $- 3$ y $3$ .

$f^{- 1} (2^{x} - 3) = \frac{\ln (2^{x} + 0)}{\ln (2)}$

Paso 4.2.3.2

Suma $2^{x}$ y $0$ .

$f^{- 1} (2^{x} - 3) = \frac{\ln (2^{x})}{\ln (2)}$

Paso 4.2.4

Expande $\ln (2^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$f^{- 1} (2^{x} - 3) = \frac{x \ln (2)}{\ln (2)}$

Paso 4.2.5

Cancela el factor común de $\ln (2)$ .

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Paso 4.2.5.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (2^{x} - 3) = \frac{x \ln (2)}{\ln (2)}$

Paso 4.2.5.2

Divide $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (2^{x} - 3) = x$

Paso 4.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 4.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 4.3.2

Evalúa $f (\frac{\ln (x + 3)}{\ln (2)})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{\ln (x + 3)}{\ln (2)}) = 2^{\frac{\ln (x + 3)}{\ln (2)}} - 3$

Paso 4.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.3.1

Usa la regla de cambio de base $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (x + 3)}{\ln (2)}) = 2^{\log_{2} (x + 3)} - 3$

Paso 4.3.3.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f (\frac{\ln (x + 3)}{\ln (2)}) = x + 3 - 3$

Paso 4.3.4

Combina los términos opuestos en $x + 3 - 3$ .

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Paso 4.3.4.1

Resta $3$ de $3$ .

$f (\frac{\ln (x + 3)}{\ln (2)}) = x + 0$

Paso 4.3.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f (\frac{\ln (x + 3)}{\ln (2)}) = x$

Paso 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 3)}{\ln (2)}$ es la inversa de $f (x) = 2^{x} - 3$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 3)}{\ln (2)}$