Precálculo Ejemplos

$\frac{x^{2} - 9}{x^{2} + x - 12} < 0$

Paso 1

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x^{2} - 9 = 0$

$x^{2} + x - 12 = 0$

Paso 2

Suma $9$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 9$

Paso 3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{9}$

Paso 4

Simplifica $\pm \sqrt{9}$ .

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Paso 4.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Paso 4.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 3$

Paso 5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 3$

Paso 5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 3$

Paso 5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 3, - 3$

Paso 6

Factoriza $x^{2} + x - 12$ con el método AC.

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Paso 6.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 12$ y cuya suma es $1$ .

$- 3, 4$

Paso 6.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 3) (x + 4) = 0$

Paso 7

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 4 = 0$

Paso 8

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 8.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 8.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 9

Establece $x + 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 9.1

Establece $x + 4$ igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Paso 9.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 4$

Paso 10

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 3) (x + 4) = 0$ verdadera.

$x = 3, - 4$

Paso 11

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = 3, - 3$

$x = 3, - 4$

Paso 12

Consolida las soluciones.

$x = 3, - 3, 3, - 4$

Paso 13

Obtén el dominio de $\frac{x^{2} - 9}{x^{2} + x - 12}$ .

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Paso 13.1

Establece el denominador en $\frac{x^{2} - 9}{x^{2} + x - 12}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{2} + x - 12 = 0$

Paso 13.2

Resuelve $x$

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Paso 13.2.1

Factoriza $x^{2} + x - 12$ con el método AC.

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Paso 13.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 12$ y cuya suma es $1$ .

$- 3, 4$

Paso 13.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 3) (x + 4) = 0$

Paso 13.2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 4 = 0$

Paso 13.2.3

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 13.2.3.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 13.2.3.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 13.2.4

Establece $x + 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 13.2.4.1

Establece $x + 4$ igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Paso 13.2.4.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 4$

Paso 13.2.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 3) (x + 4) = 0$ verdadera.

$x = 3, - 4$

Paso 13.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 3) \cup (3, \infty)$

Paso 14

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 4$

$- 4 < x < - 3$

$- 3 < x < 3$

$x > 3$

Paso 15

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 15.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 15.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 6$

Paso 15.1.2

Reemplaza $x$ con $- 6$ en la desigualdad original.

$\frac{{(- 6)}^{2} - 9}{{(- 6)}^{2} - 6 - 12} < 0$

Paso 15.1.3

$1.5$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 15.2

Prueba un valor en el intervalo $- 4 < x < - 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 15.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 4 < x < - 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 3.5$

Paso 15.2.2

Reemplaza $x$ con $- 3.5$ en la desigualdad original.

$\frac{{(- 3.5)}^{2} - 9}{{(- 3.5)}^{2} - 3.5 - 12} < 0$

Paso 15.2.3

$- 1$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 15.3

Prueba un valor en el intervalo $- 3 < x < 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 15.3.1

Elije un valor en el intervalo $- 3 < x < 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 15.3.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{{(0)}^{2} - 9}{{(0)}^{2} + 0 - 12} < 0$

Paso 15.3.3

$0.75$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 15.4

Prueba un valor en el intervalo $x > 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 15.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 6$

Paso 15.4.2

Reemplaza $x$ con $6$ en la desigualdad original.

$\frac{{(6)}^{2} - 9}{{(6)}^{2} + 6 - 12} < 0$

Paso 15.4.3

$0.9$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 15.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 4$ Falso

$- 4 < x < - 3$ Verdadero

$- 3 < x < 3$ Falso

$x > 3$ Falso

$x < - 4$ Falso

$- 4 < x < - 3$ Verdadero

$- 3 < x < 3$ Falso

$x > 3$ Falso

Paso 16

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 4 < x < - 3$

Paso 17

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(- 4, - 3)$

Paso 18