Precálculo Ejemplos

$3 x^{2} + 35 y^{2} - 60 x + 140 y - 85 = 0$

Paso 1

Suma $85$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x^{2} + 35 y^{2} - 60 x + 140 y = 85$

Paso 2

Completa el cuadrado de $3 x^{2} - 60 x$ .

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Paso 2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 3$

$b = - 60$

$c = 0$

Paso 2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 60}{2 \cdot 3}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común de $- 60$ y $2$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 60$ .

$d = \frac{2 \cdot - 30}{2 \cdot 3}$

Paso 2.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 3$ .

$d = \frac{2 \cdot - 30}{2 (3)}$

Paso 2.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 30}{2 \cdot 3}$

Paso 2.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 30}{3}$

Paso 2.3.2.2

Cancela el factor común de $- 30$ y $3$ .

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Paso 2.3.2.2.1

Factoriza $3$ de $- 30$ .

$d = \frac{3 \cdot - 10}{3}$

Paso 2.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.2.2.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$d = \frac{3 \cdot - 10}{3 (1)}$

Paso 2.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{3 \cdot - 10}{3 \cdot 1}$

Paso 2.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 10}{1}$

Paso 2.3.2.2.2.4

Divide $- 10$ por $1$ .

$d = - 10$

Paso 2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 60)}^{2}}{4 \cdot 3}$

Paso 2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.2.1.1

Eleva $- 60$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{3600}{4 \cdot 3}$

Paso 2.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $3$ .

$e = 0 - \frac{3600}{12}$

Paso 2.4.2.1.3

Divide $3600$ por $12$ .

$e = 0 - 1 \cdot 300$

Paso 2.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $300$ .

$e = 0 - 300$

Paso 2.4.2.2

Resta $300$ de $0$ .

$e = - 300$

Paso 2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $3 {(x - 10)}^{2} - 300$ .

$3 {(x - 10)}^{2} - 300$

Paso 3

Sustituye $3 {(x - 10)}^{2} - 300$ por $3 x^{2} - 60 x$ en la ecuación $3 x^{2} + 35 y^{2} - 60 x + 140 y = 85$ .

$3 {(x - 10)}^{2} - 300 + 35 y^{2} + 140 y = 85$

Paso 4

Mueve $- 300$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $300$ a ambos lados.

$3 {(x - 10)}^{2} + 35 y^{2} + 140 y = 85 + 300$

Paso 5

Completa el cuadrado de $35 y^{2} + 140 y$ .

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Paso 5.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 35$

$b = 140$

$c = 0$

Paso 5.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 5.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 5.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{140}{2 \cdot 35}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $140$ y $2$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $140$ .

$d = \frac{2 \cdot 70}{2 \cdot 35}$

Paso 5.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 35$ .

$d = \frac{2 \cdot 70}{2 (35)}$

Paso 5.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 70}{2 \cdot 35}$

Paso 5.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{70}{35}$

Paso 5.3.2.2

Cancela el factor común de $70$ y $35$ .

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Paso 5.3.2.2.1

Factoriza $35$ de $70$ .

$d = \frac{35 \cdot 2}{35}$

Paso 5.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.2.2.2.1

Factoriza $35$ de $35$ .

$d = \frac{35 \cdot 2}{35 (1)}$

Paso 5.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{35 \cdot 2}{35 \cdot 1}$

Paso 5.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{2}{1}$

Paso 5.3.2.2.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$d = 2$

Paso 5.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 5.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{140^{2}}{4 \cdot 35}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.2.1.1

Eleva $140$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{19600}{4 \cdot 35}$

Paso 5.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $35$ .

$e = 0 - \frac{19600}{140}$

Paso 5.4.2.1.3

Divide $19600$ por $140$ .

$e = 0 - 1 \cdot 140$

Paso 5.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $140$ .

$e = 0 - 140$

Paso 5.4.2.2

Resta $140$ de $0$ .

$e = - 140$

Paso 5.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $35 {(y + 2)}^{2} - 140$ .

$35 {(y + 2)}^{2} - 140$

Paso 6

Sustituye $35 {(y + 2)}^{2} - 140$ por $35 y^{2} + 140 y$ en la ecuación $3 x^{2} + 35 y^{2} - 60 x + 140 y = 85$ .

$3 {(x - 10)}^{2} + 35 {(y + 2)}^{2} - 140 = 85 + 300$

Paso 7

Mueve $- 140$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $140$ a ambos lados.

$3 {(x - 10)}^{2} + 35 {(y + 2)}^{2} = 85 + 300 + 140$

Paso 8

Simplifica $85 + 300 + 140$ .

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Paso 8.1

Suma $85$ y $300$ .

$3 {(x - 10)}^{2} + 35 {(y + 2)}^{2} = 385 + 140$

Paso 8.2

Suma $385$ y $140$ .

$3 {(x - 10)}^{2} + 35 {(y + 2)}^{2} = 525$

Paso 9

Divide cada término por $525$ para que el lado derecho sea igual a uno.

$\frac{3 {(x - 10)}^{2}}{525} + \frac{35 {(y + 2)}^{2}}{525} = \frac{525}{525}$

Paso 10

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{{(x - 10)}^{2}}{175} + \frac{{(y + 2)}^{2}}{15} = 1$