Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{5}{x}$

Paso 1

Considera la fórmula del cociente diferencial.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Paso 2

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 2.1

Evalúa la función en $x = x + h$ .

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Paso 2.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $x + h$ en la expresión.

$f (x + h) = \frac{5}{x + h}$

Paso 2.1.2

La respuesta final es $\frac{5}{x + h}$ .

$\frac{5}{x + h}$

Paso 2.2

Obtén los componentes de la definición.

$f (x + h) = \frac{5}{x + h}$

$f (x) = \frac{5}{x}$

$f (x + h) = \frac{5}{x + h}$

$f (x) = \frac{5}{x}$

Paso 3

Inserta los componentes.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{5}{x + h} - (\frac{5}{x})}{h}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Para escribir $\frac{5}{x + h}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{5}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{5}{x}}{h}$

Paso 4.1.2

Para escribir $- \frac{5}{x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + h}{x + h}$ .

$\frac{\frac{5}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{5}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

Paso 4.1.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x + h) x$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1.3.1

Multiplica $\frac{5}{x + h}$ por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{5 x}{(x + h) x} - \frac{5}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

Paso 4.1.3.2

Multiplica $\frac{5}{x}$ por $\frac{x + h}{x + h}$ .

$\frac{\frac{5 x}{(x + h) x} - \frac{5 (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.3.3

Reordena los factores de $(x + h) x$ .

$\frac{\frac{5 x}{x (x + h)} - \frac{5 (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{5 x - 5 (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.5

Reescribe $\frac{5 x - 5 (x + h)}{x (x + h)}$ en forma factorizada.

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Paso 4.1.5.1

Factoriza $5$ de $5 x - 5 (x + h)$ .

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Paso 4.1.5.1.1

Factoriza $5$ de $5 x$ .

$\frac{\frac{5 (x) - 5 (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.5.1.2

Factoriza $5$ de $- 5 (x + h)$ .

$\frac{\frac{5 (x) + 5 (- (x + h))}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.5.1.3

Factoriza $5$ de $5 (x) + 5 (- (x + h))$ .

$\frac{\frac{5 (x - (x + h))}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{5 (x - x - h)}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.5.3

Resta $x$ de $x$ .

$\frac{\frac{5 (0 - h)}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.5.4

Resta $h$ de $0$ .

$\frac{\frac{5 \cdot - 1 h}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.5.5

Combina exponentes.

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Paso 4.1.5.5.1

Factoriza el negativo.

$\frac{\frac{- (5 h)}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.5.5.2

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{- 5 h}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{- \frac{5 h}{x (x + h)}}{h}$

Paso 4.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- \frac{5 h}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 4.3

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 4.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{5 h}{x (x + h)}$ al numerador.

$\frac{- 5 h}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 4.3.2

Factoriza $h$ de $- 5 h$ .

$\frac{h \cdot - 5}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 4.3.3

Cancela el factor común.

$\frac{h \cdot - 5}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 4.3.4

Reescribe la expresión.

$\frac{- 5}{x (x + h)}$

Paso 4.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{5}{x (x + h)}$

Paso 5