Precálculo Ejemplos

$x^{2} - 12 y - 6 x + 5 = 0$

Paso 1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1

Aísla $y$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1.1

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.1.1.1

Resta $x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$- 12 y - 6 x + 5 = - x^{2}$

Paso 1.1.1.2

Suma $6 x$ a ambos lados de la ecuación.

$- 12 y + 5 = - x^{2} + 6 x$

Paso 1.1.1.3

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$- 12 y = - x^{2} + 6 x - 5$

Paso 1.1.2

Divide cada término en $- 12 y = - x^{2} + 6 x - 5$ por $- 12$ y simplifica.

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Paso 1.1.2.1

Divide cada término en $- 12 y = - x^{2} + 6 x - 5$ por $- 12$ .

$\frac{- 12 y}{- 12} = \frac{- x^{2}}{- 12} + \frac{6 x}{- 12} + \frac{- 5}{- 12}$

Paso 1.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.2.1

Cancela el factor común de $- 12$ .

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Paso 1.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 12 y}{- 12} = \frac{- x^{2}}{- 12} + \frac{6 x}{- 12} + \frac{- 5}{- 12}$

Paso 1.1.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- x^{2}}{- 12} + \frac{6 x}{- 12} + \frac{- 5}{- 12}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.3.1.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$y = \frac{x^{2}}{12} + \frac{6 x}{- 12} + \frac{- 5}{- 12}$

Paso 1.1.2.3.1.2

Cancela el factor común de $6$ y $- 12$ .

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Paso 1.1.2.3.1.2.1

Factoriza $6$ de $6 x$ .

$y = \frac{x^{2}}{12} + \frac{6 (x)}{- 12} + \frac{- 5}{- 12}$

Paso 1.1.2.3.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.2.3.1.2.2.1

Factoriza $6$ de $- 12$ .

$y = \frac{x^{2}}{12} + \frac{6 x}{6 \cdot - 2} + \frac{- 5}{- 12}$

Paso 1.1.2.3.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{x^{2}}{12} + \frac{6 x}{6 \cdot - 2} + \frac{- 5}{- 12}$

Paso 1.1.2.3.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{x^{2}}{12} + \frac{x}{- 2} + \frac{- 5}{- 12}$

Paso 1.1.2.3.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{x^{2}}{12} - \frac{x}{2} + \frac{- 5}{- 12}$

Paso 1.1.2.3.1.4

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$y = \frac{x^{2}}{12} - \frac{x}{2} + \frac{5}{12}$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $\frac{x^{2}}{12} - \frac{x}{2} + \frac{5}{12}$ .

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Paso 1.2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = \frac{1}{12}$

$b = - \frac{1}{2}$

$c = \frac{5}{12}$

Paso 1.2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- \frac{1}{2}}{2 (\frac{1}{12})}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.2.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{12})}$

Paso 1.2.3.2.2

Combina $2$ y $\frac{1}{12}$ .

$d = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2}{12}}$

Paso 1.2.3.2.3

Cancela el factor común de $2$ y $12$ .

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Paso 1.2.3.2.3.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$d = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 (1)}{12}}$

Paso 1.2.3.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $12$ .

$d = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6}}$

Paso 1.2.3.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$d = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6}}$

Paso 1.2.3.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$d = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{6}}$

Paso 1.2.3.2.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = - \frac{1}{2} (1 \cdot 6)$

Paso 1.2.3.2.5

Multiplica $6$ por $1$ .

$d = - \frac{1}{2} \cdot 6$

Paso 1.2.3.2.6

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.3.2.6.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{2}$ al numerador.

$d = \frac{- 1}{2} \cdot 6$

Paso 1.2.3.2.6.2

Factoriza $2$ de $6$ .

$d = \frac{- 1}{2} \cdot (2 (3))$

Paso 1.2.3.2.6.3

Cancela el factor común.

$d = \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot 3)$

Paso 1.2.3.2.6.4

Reescribe la expresión.

$d = - 1 \cdot 3$

Paso 1.2.3.2.7

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$d = - 3$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{5}{12} - \frac{{(- \frac{1}{2})}^{2}}{4 (\frac{1}{12})}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.4.2.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.4.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{2}$ .

$e = \frac{5}{12} - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}}{4 (\frac{1}{12})}$

Paso 1.2.4.2.1.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$e = \frac{5}{12} - \frac{1 {(\frac{1}{2})}^{2}}{4 (\frac{1}{12})}$

Paso 1.2.4.2.1.1.3

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$e = \frac{5}{12} - \frac{1 \frac{1^{2}}{2^{2}}}{4 (\frac{1}{12})}$

Paso 1.2.4.2.1.1.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$e = \frac{5}{12} - \frac{1 \frac{1}{2^{2}}}{4 (\frac{1}{12})}$

Paso 1.2.4.2.1.1.5

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$e = \frac{5}{12} - \frac{1 (\frac{1}{4})}{4 (\frac{1}{12})}$

Paso 1.2.4.2.1.1.6

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$e = \frac{5}{12} - \frac{\frac{1}{4}}{4 (\frac{1}{12})}$

Paso 1.2.4.2.1.2

Combina $4$ y $\frac{1}{12}$ .

$e = \frac{5}{12} - \frac{\frac{1}{4}}{\frac{4}{12}}$

Paso 1.2.4.2.1.3

Cancela el factor común de $4$ y $12$ .

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Paso 1.2.4.2.1.3.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$e = \frac{5}{12} - \frac{\frac{1}{4}}{\frac{4 (1)}{12}}$

Paso 1.2.4.2.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.4.2.1.3.2.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$e = \frac{5}{12} - \frac{\frac{1}{4}}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}}$

Paso 1.2.4.2.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$e = \frac{5}{12} - \frac{\frac{1}{4}}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}}$

Paso 1.2.4.2.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$e = \frac{5}{12} - \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{3}}$

Paso 1.2.4.2.1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e = \frac{5}{12} - (\frac{1}{4} \cdot 3)$

Paso 1.2.4.2.1.5

Combina $\frac{1}{4}$ y $3$ .

$e = \frac{5}{12} - \frac{3}{4}$

Paso 1.2.4.2.2

Para escribir $- \frac{3}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$e = \frac{5}{12} - \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 1.2.4.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $12$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.2.4.2.3.1

Multiplica $\frac{3}{4}$ por $\frac{3}{3}$ .

$e = \frac{5}{12} - \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3}$

Paso 1.2.4.2.3.2

Multiplica $4$ por $3$ .

$e = \frac{5}{12} - \frac{3 \cdot 3}{12}$

Paso 1.2.4.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e = \frac{5 - 3 \cdot 3}{12}$

Paso 1.2.4.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.4.2.5.1

Multiplica $- 3$ por $3$ .

$e = \frac{5 - 9}{12}$

Paso 1.2.4.2.5.2

Resta $9$ de $5$ .

$e = \frac{- 4}{12}$

Paso 1.2.4.2.6

Cancela el factor común de $- 4$ y $12$ .

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Paso 1.2.4.2.6.1

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$e = \frac{4 (- 1)}{12}$

Paso 1.2.4.2.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.4.2.6.2.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$e = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 3}$

Paso 1.2.4.2.6.2.2

Cancela el factor común.

$e = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 3}$

Paso 1.2.4.2.6.2.3

Reescribe la expresión.

$e = \frac{- 1}{3}$

Paso 1.2.4.2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e = - \frac{1}{3}$

Paso 1.2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $\frac{1}{12} {(x - 3)}^{2} - \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{12} {(x - 3)}^{2} - \frac{1}{3}$

Paso 1.3

Establece $y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = \frac{1}{12} \cdot {(x - 3)}^{2} - \frac{1}{3}$

Paso 2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = \frac{1}{12}$

$h = 3$

$k = - \frac{1}{3}$

Paso 3

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(3, - \frac{1}{3})$

Paso 4