Precálculo Ejemplos

$x = \frac{1}{4} (y^{2} + 2 y + 33)$

Paso 1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1

Simplifica $\frac{1}{4} \cdot (y^{2} + 2 y + 33)$ .

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Paso 1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{1}{4} y^{2} + \frac{1}{4} (2 y) + \frac{1}{4} \cdot 33$

Paso 1.1.2

Simplifica.

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Paso 1.1.2.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $y^{2}$ .

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{1}{4} (2 y) + \frac{1}{4} \cdot 33$

Paso 1.1.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.1.2.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{1}{2 (2)} (2 y) + \frac{1}{4} \cdot 33$

Paso 1.1.2.2.2

Factoriza $2$ de $2 y$ .

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{1}{2 (2)} (2 (y)) + \frac{1}{4} \cdot 33$

Paso 1.1.2.2.3

Cancela el factor común.

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{1}{2 \cdot 2} (2 y) + \frac{1}{4} \cdot 33$

Paso 1.1.2.2.4

Reescribe la expresión.

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{1}{2} y + \frac{1}{4} \cdot 33$

Paso 1.1.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $y$ .

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{y}{2} + \frac{1}{4} \cdot 33$

Paso 1.1.2.4

Combina $\frac{1}{4}$ y $33$ .

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{y}{2} + \frac{33}{4}$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $\frac{y^{2}}{4} + \frac{y}{2} + \frac{33}{4}$ .

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Paso 1.2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = \frac{1}{4}$

$b = \frac{1}{2}$

$c = \frac{33}{4}$

Paso 1.2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{1}{2}}{2 (\frac{1}{4})}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.2.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{4})}$

Paso 1.2.3.2.2

Combina $2$ y $\frac{1}{4}$ .

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2}{4}}$

Paso 1.2.3.2.3

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 1.2.3.2.3.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 (1)}{4}}$

Paso 1.2.3.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Paso 1.2.3.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Paso 1.2.3.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Paso 1.2.3.2.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = \frac{1}{2} (1 \cdot 2)$

Paso 1.2.3.2.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.3.2.5.1

Factoriza $2$ de $1 \cdot 2$ .

$d = \frac{1}{2} (2 \cdot 1)$

Paso 1.2.3.2.5.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{1}{2} (2 \cdot 1)$

Paso 1.2.3.2.5.3

Reescribe la expresión.

$d = 1$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{33}{4} - \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{4 (\frac{1}{4})}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.4.2.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.4.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$e = \frac{33}{4} - \frac{\frac{1^{2}}{2^{2}}}{4 (\frac{1}{4})}$

Paso 1.2.4.2.1.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$e = \frac{33}{4} - \frac{\frac{1}{2^{2}}}{4 (\frac{1}{4})}$

Paso 1.2.4.2.1.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$e = \frac{33}{4} - \frac{\frac{1}{4}}{4 (\frac{1}{4})}$

Paso 1.2.4.2.1.2

Combina $4$ y $\frac{1}{4}$ .

$e = \frac{33}{4} - \frac{\frac{1}{4}}{\frac{4}{4}}$

Paso 1.2.4.2.1.3

Divide $4$ por $4$ .

$e = \frac{33}{4} - \frac{\frac{1}{4}}{1}$

Paso 1.2.4.2.1.4

Divide $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$e = \frac{33}{4} - \frac{1}{4}$

Paso 1.2.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e = \frac{33 - 1}{4}$

Paso 1.2.4.2.3

Resta $1$ de $33$ .

$e = \frac{32}{4}$

Paso 1.2.4.2.4

Divide $32$ por $4$ .

$e = 8$

Paso 1.2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $\frac{1}{4} {(y + 1)}^{2} + 8$ .

$\frac{1}{4} {(y + 1)}^{2} + 8$

Paso 1.3

Establece $x$ igual al nuevo lado derecho.

$x = \frac{1}{4} \cdot {(y + 1)}^{2} + 8$

Paso 2

Usa la forma de vértice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = \frac{1}{4}$

$h = 8$

$k = - 1$

Paso 3

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(8, - 1)$

Paso 4