Precálculo Ejemplos

$9 x^{2} + 4 y^{2} - 54 x + 40 y + 37 = 0$

Paso 1

Resta $37$ de ambos lados de la ecuación.

$9 x^{2} + 4 y^{2} - 54 x + 40 y = - 37$

Paso 2

Completa el cuadrado de $9 x^{2} - 54 x$ .

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Paso 2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 9$

$b = - 54$

$c = 0$

Paso 2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 54}{2 \cdot 9}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común de $- 54$ y $2$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 54$ .

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 \cdot 9}$

Paso 2.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 (9)}$

Paso 2.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 \cdot 9}$

Paso 2.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 27}{9}$

Paso 2.3.2.2

Cancela el factor común de $- 27$ y $9$ .

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Paso 2.3.2.2.1

Factoriza $9$ de $- 27$ .

$d = \frac{9 \cdot - 3}{9}$

Paso 2.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.2.2.2.1

Factoriza $9$ de $9$ .

$d = \frac{9 \cdot - 3}{9 (1)}$

Paso 2.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{9 \cdot - 3}{9 \cdot 1}$

Paso 2.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 3}{1}$

Paso 2.3.2.2.2.4

Divide $- 3$ por $1$ .

$d = - 3$

Paso 2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 54)}^{2}}{4 \cdot 9}$

Paso 2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.2.1.1

Eleva $- 54$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{2916}{4 \cdot 9}$

Paso 2.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $9$ .

$e = 0 - \frac{2916}{36}$

Paso 2.4.2.1.3

Divide $2916$ por $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 81$

Paso 2.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $81$ .

$e = 0 - 81$

Paso 2.4.2.2

Resta $81$ de $0$ .

$e = - 81$

Paso 2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $9 {(x - 3)}^{2} - 81$ .

$9 {(x - 3)}^{2} - 81$

Paso 3

Sustituye $9 {(x - 3)}^{2} - 81$ por $9 x^{2} - 54 x$ en la ecuación $9 x^{2} + 4 y^{2} - 54 x + 40 y = - 37$ .

$9 {(x - 3)}^{2} - 81 + 4 y^{2} + 40 y = - 37$

Paso 4

Mueve $- 81$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $81$ a ambos lados.

$9 {(x - 3)}^{2} + 4 y^{2} + 40 y = - 37 + 81$

Paso 5

Completa el cuadrado de $4 y^{2} + 40 y$ .

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Paso 5.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 4$

$b = 40$

$c = 0$

Paso 5.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 5.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 5.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{40}{2 \cdot 4}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $40$ y $2$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $40$ .

$d = \frac{2 \cdot 20}{2 \cdot 4}$

Paso 5.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot 20}{2 (4)}$

Paso 5.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 20}{2 \cdot 4}$

Paso 5.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{20}{4}$

Paso 5.3.2.2

Cancela el factor común de $20$ y $4$ .

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Paso 5.3.2.2.1

Factoriza $4$ de $20$ .

$d = \frac{4 \cdot 5}{4}$

Paso 5.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.2.2.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$d = \frac{4 \cdot 5}{4 (1)}$

Paso 5.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 1}$

Paso 5.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{5}{1}$

Paso 5.3.2.2.2.4

Divide $5$ por $1$ .

$d = 5$

Paso 5.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 5.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{40^{2}}{4 \cdot 4}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.2.1.1

Eleva $40$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{1600}{4 \cdot 4}$

Paso 5.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$e = 0 - \frac{1600}{16}$

Paso 5.4.2.1.3

Divide $1600$ por $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 100$

Paso 5.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $100$ .

$e = 0 - 100$

Paso 5.4.2.2

Resta $100$ de $0$ .

$e = - 100$

Paso 5.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $4 {(y + 5)}^{2} - 100$ .

$4 {(y + 5)}^{2} - 100$

Paso 6

Sustituye $4 {(y + 5)}^{2} - 100$ por $4 y^{2} + 40 y$ en la ecuación $9 x^{2} + 4 y^{2} - 54 x + 40 y = - 37$ .

$9 {(x - 3)}^{2} + 4 {(y + 5)}^{2} - 100 = - 37 + 81$

Paso 7

Mueve $- 100$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $100$ a ambos lados.

$9 {(x - 3)}^{2} + 4 {(y + 5)}^{2} = - 37 + 81 + 100$

Paso 8

Simplifica $- 37 + 81 + 100$ .

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Paso 8.1

Suma $- 37$ y $81$ .

$9 {(x - 3)}^{2} + 4 {(y + 5)}^{2} = 44 + 100$

Paso 8.2

Suma $44$ y $100$ .

$9 {(x - 3)}^{2} + 4 {(y + 5)}^{2} = 144$

Paso 9

Divide cada término por $144$ para que el lado derecho sea igual a uno.

$\frac{9 {(x - 3)}^{2}}{144} + \frac{4 {(y + 5)}^{2}}{144} = \frac{144}{144}$

Paso 10

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{16} + \frac{{(y + 5)}^{2}}{36} = 1$

Paso 11

Esta es la forma de una elipse. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener el centro, junto con los ejes mayor y menor de la elipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Paso 12

Haz coincidir los valores de esta elipse con los de la ecuación ordinaria. La variable $a$ representa el radio del eje mayor de la elipse, $b$ representa el radio del eje menor de la elipse, $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen y $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen.

$a = 6$

$b = 4$

$k = - 5$

$h = 3$

Paso 13

Obtén la excentricidad con la siguiente fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Paso 14

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\frac{\sqrt{{(6)}^{2} - {(4)}^{2}}}{6}$

Paso 15

Simplifica.

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Paso 15.1

Simplifica el numerador.

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Paso 15.1.1

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{36 - 4^{2}}}{6}$

Paso 15.1.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{36 - 1 \cdot 16}}{6}$

Paso 15.1.3

Multiplica $- 1$ por $16$ .

$\frac{\sqrt{36 - 16}}{6}$

Paso 15.1.4

Resta $16$ de $36$ .

$\frac{\sqrt{20}}{6}$

Paso 15.1.5

Reescribe $20$ como $2^{2} \cdot 5$ .

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Paso 15.1.5.1

Factoriza $4$ de $20$ .

$\frac{\sqrt{4 (5)}}{6}$

Paso 15.1.5.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 5}}{6}$

Paso 15.1.6

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{2 \sqrt{5}}{6}$

Paso 15.2

Cancela el factor común de $2$ y $6$ .

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Paso 15.2.1

Factoriza $2$ de $2 \sqrt{5}$ .

$\frac{2 (\sqrt{5})}{6}$

Paso 15.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 15.2.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{2 \cdot 3}$

Paso 15.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \sqrt{5}}{2 \cdot 3}$

Paso 15.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{5}}{3}$

Paso 16

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{\sqrt{5}}{3}$

Forma decimal:

$0.74535599 \dots$

Paso 17