Precálculo Ejemplos

$x^{3} - 512 = 0$

Paso 1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Reescribe $512$ como $8^{3}$ .

$x^{3} - 8^{3} = 0$

Paso 1.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = 8$ .

$(x - 8) (x^{2} + x \cdot 8 + 8^{2}) = 0$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Mueve $8$ a la izquierda de $x$ .

$(x - 8) (x^{2} + 8 x + 8^{2}) = 0$

Paso 1.3.2

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$(x - 8) (x^{2} + 8 x + 64) = 0$

Paso 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 8 = 0$

$x^{2} + 8 x + 64 = 0$

Paso 3

Establece $x - 8$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.1

Establece $x - 8$ igual a $0$ .

$x - 8 = 0$

Paso 3.2

Suma $8$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 8$

Paso 4

Establece $x^{2} + 8 x + 64$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $x^{2} + 8 x + 64$ igual a $0$ .

$x^{2} + 8 x + 64 = 0$

Paso 4.2

Resuelve $x^{2} + 8 x + 64 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 4.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 8$ y $c = 64$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 64)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.3

Simplifica.

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Paso 4.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.3.1.1

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 64$ .

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Paso 4.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $64$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 256}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.3.1.3

Resta $256$ de $64$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 192}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.3.1.4

Reescribe $- 192$ como $- 1 (192)$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 192}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (192)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.3.1.7

Reescribe $192$ como $8^{2} \cdot 3$ .

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Paso 4.2.3.1.7.1

Factoriza $64$ de $192$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{64 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.3.1.7.2

Reescribe $64$ como $8^{2}$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{8^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.3.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot (8 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.3.1.9

Mueve $8$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 4.2.3.3

Simplifica $\frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 4 \pm 4 i \sqrt{3}$

Paso 4.2.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 4.2.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.4.1.1

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 64$ .

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Paso 4.2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $64$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 256}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.4.1.3

Resta $256$ de $64$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 192}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.4.1.4

Reescribe $- 192$ como $- 1 (192)$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 192}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.4.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (192)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.4.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.4.1.7

Reescribe $192$ como $8^{2} \cdot 3$ .

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Paso 4.2.4.1.7.1

Factoriza $64$ de $192$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{64 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.4.1.7.2

Reescribe $64$ como $8^{2}$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{8^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.4.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot (8 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.4.1.9

Mueve $8$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 4.2.4.3

Simplifica $\frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 4 \pm 4 i \sqrt{3}$

Paso 4.2.4.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = - 4 + 4 i \sqrt{3}$

Paso 4.2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 4.2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.5.1.1

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 64$ .

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Paso 4.2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $64$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 256}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.5.1.3

Resta $256$ de $64$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 192}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.5.1.4

Reescribe $- 192$ como $- 1 (192)$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 192}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.5.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (192)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.5.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.5.1.7

Reescribe $192$ como $8^{2} \cdot 3$ .

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Paso 4.2.5.1.7.1

Factoriza $64$ de $192$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{64 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.5.1.7.2

Reescribe $64$ como $8^{2}$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{8^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.5.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot (8 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.5.1.9

Mueve $8$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 4.2.5.3

Simplifica $\frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 4 \pm 4 i \sqrt{3}$

Paso 4.2.5.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = - 4 - 4 i \sqrt{3}$

Paso 4.2.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - 4 + 4 i \sqrt{3}, - 4 - 4 i \sqrt{3}$

Paso 5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 8) (x^{2} + 8 x + 64) = 0$ verdadera.

$x = 8, - 4 + 4 i \sqrt{3}, - 4 - 4 i \sqrt{3}$