Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{9 x^{3} + 8 x - 9}{4 x^{2} - 36}$

Paso 1

Obtén dónde la expresión $\frac{9 x^{3} + 8 x - 9}{4 x^{2} - 36}$ no está definida.

$x = - 3, x = 3$

Paso 2

Como $\frac{9 x^{3} + 8 x - 9}{4 x^{2} - 36}$ $\to$ $- \infty$ a medida que $x$ $\to$ $- 3$ desde la izquierda y $\frac{9 x^{3} + 8 x - 9}{4 x^{2} - 36}$ $\to$ $\infty$ a medida que $x$ $\to$ $- 3$ desde la derecha, entonces $x = - 3$ es una asíntota vertical.

$x = - 3$

Paso 3

Como $\frac{9 x^{3} + 8 x - 9}{4 x^{2} - 36}$ $\to$ $- \infty$ a medida que $x$ $\to$ $3$ desde la izquierda y $\frac{9 x^{3} + 8 x - 9}{4 x^{2} - 36}$ $\to$ $\infty$ a medida que $x$ $\to$ $3$ desde la derecha, entonces $x = 3$ es una asíntota vertical.

$x = 3$

Paso 4

Enumera todas las asíntotas verticales:

$x = - 3, 3$

Paso 5

Considera la función racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ donde $n$ es el grado del numerador y $m$ es el grado del denominador.

1. Si $n < m$ , entonces el eje x, $y = 0$ , es la asíntota horizontal.

2. Si $n = m$ , entonces la asíntota horizontal es la línea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , entonces no hay asíntota horizontal (hay una asíntota oblicua).

Paso 6

Obtén $n$ y $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Paso 7

Como $n > m$ , no hay asíntota horizontal.

No hay asíntotas horizontales

Paso 8

Obtén la asíntota oblicua mediante la división polinómica.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1.1

Factoriza $4$ de $4 x^{2} - 36$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1.1.1

Factoriza $4$ de $4 x^{2}$ .

$\frac{9 x^{3} + 8 x - 9}{4 (x^{2}) - 36}$

Paso 8.1.1.2

Factoriza $4$ de $- 36$ .

$\frac{9 x^{3} + 8 x - 9}{4 x^{2} + 4 \cdot - 9}$

Paso 8.1.1.3

Factoriza $4$ de $4 x^{2} + 4 \cdot - 9$ .

$\frac{9 x^{3} + 8 x - 9}{4 (x^{2} - 9)}$

Paso 8.1.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{9 x^{3} + 8 x - 9}{4 (x^{2} - 3^{2})}$

Paso 8.1.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$\frac{9 x^{3} + 8 x - 9}{4 (x + 3) (x - 3)}$

Paso 8.2

Expande $4 (x + 3) (x - 3)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{9 x^{3} + 8 x - 9}{(4 x + 4 \cdot 3) (x - 3)}$

Paso 8.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{9 x^{3} + 8 x - 9}{4 x (x - 3) + 4 \cdot (3 (x - 3))}$

Paso 8.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{9 x^{3} + 8 x - 9}{4 x \cdot x + 4 x \cdot - 3 + 4 \cdot (3 (x - 3))}$

Paso 8.2.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{9 x^{3} + 8 x - 9}{4 x \cdot x + 4 x \cdot - 3 + 4 \cdot (3 x) + 4 \cdot 3 \cdot - 3}$

Paso 8.2.5

Mueve $x$ .

$\frac{9 x^{3} + 8 x - 9}{4 x \cdot x + 4 \cdot (- 3 x) + 4 \cdot (3 x) + 4 \cdot 3 \cdot - 3}$

Paso 8.2.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{9 x^{3} + 8 x - 9}{4 (x \cdot x) + 4 \cdot (- 3 x) + 4 \cdot (3 x) + 4 \cdot 3 \cdot - 3}$

Paso 8.2.7

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{9 x^{3} + 8 x - 9}{4 (x \cdot x) + 4 \cdot (- 3 x) + 4 \cdot (3 x) + 4 \cdot 3 \cdot - 3}$

Paso 8.2.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{9 x^{3} + 8 x - 9}{4 x^{1 + 1} + 4 \cdot (- 3 x) + 4 \cdot (3 x) + 4 \cdot 3 \cdot - 3}$

Paso 8.2.9

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{9 x^{3} + 8 x - 9}{4 x^{2} + 4 \cdot (- 3 x) + 4 \cdot (3 x) + 4 \cdot 3 \cdot - 3}$

Paso 8.2.10

Multiplica $4$ por $- 3$ .

$\frac{9 x^{3} + 8 x - 9}{4 x^{2} - 12 x + 4 \cdot (3 x) + 4 \cdot 3 \cdot - 3}$

Paso 8.2.11

Multiplica $4$ por $3$ .

$\frac{9 x^{3} + 8 x - 9}{4 x^{2} - 12 x + 12 x + 4 \cdot 3 \cdot - 3}$

Paso 8.2.12

Multiplica $4$ por $3$ .

$\frac{9 x^{3} + 8 x - 9}{4 x^{2} - 12 x + 12 x + 12 \cdot - 3}$

Paso 8.2.13

Multiplica $12$ por $- 3$ .

$\frac{9 x^{3} + 8 x - 9}{4 x^{2} - 12 x + 12 x - 36}$

Paso 8.2.14

Suma $- 12 x$ y $12 x$ .

$\frac{9 x^{3} + 8 x - 9}{4 x^{2} + 0 - 36}$

Paso 8.2.15

Resta $36$ de $0$ .

$\frac{9 x^{3} + 8 x - 9}{4 x^{2} - 36}$

Paso 8.3

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$4 x^{2}$

$0 x$

$36$

$9 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$9$

Paso 8.4

Divide el término de mayor orden en el dividendo $9 x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $4 x^{2}$ .

$\frac{9 x}{4}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$36$

$9 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$9$

Paso 8.5

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$\frac{9 x}{4}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$36$

$9 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$9$

$9 x^{3}$

$0$

$81 x$

Paso 8.6

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $9 x^{3} + 0 - 81 x$ .

$\frac{9 x}{4}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$36$

$9 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$9$

$9 x^{3}$

$0$

$81 x$

Paso 8.7

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$\frac{9 x}{4}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$36$

$9 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$9$

$9 x^{3}$

$0$

$81 x$

$89 x$

Paso 8.8

Retira el próximo término del dividendo original hacia el dividendo actual.

$\frac{9 x}{4}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$36$

$9 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$9$

$9 x^{3}$

$0$

$81 x$

$89 x$

$9$

Paso 8.9

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$\frac{9 x}{4} + \frac{89 x - 9}{4 x^{2} - 36}$

Paso 8.10

La asíntota oblicua es la parte polinómica del resultado de la división larga.

$y = \frac{9 x}{4}$

Paso 9

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

Asíntotas verticales: $x = - 3, 3$

No hay asíntotas horizontales

Asíntotas oblicuas: $y = \frac{9 x}{4}$

Paso 10