Precálculo Ejemplos

$2 x^{3} - 72 x < x^{2} - 36$

Paso 1

Resta $x^{2}$ de ambos lados de la desigualdad.

$2 x^{3} - 72 x - x^{2} < - 36$

Paso 2

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$2 x^{3} - 72 x - x^{2} = - 36$

Paso 3

Suma $36$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x^{3} - 72 x - x^{2} + 36 = 0$

Paso 4

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.1

Reordena los términos.

$2 x^{3} - x^{2} - 72 x + 36 = 0$

Paso 4.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 4.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(2 x^{3} - x^{2}) - 72 x + 36 = 0$

Paso 4.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$x^{2} (2 x - 1) - 36 (2 x - 1) = 0$

Paso 4.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 x - 1$ .

$(2 x - 1) (x^{2} - 36) = 0$

Paso 4.4

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$(2 x - 1) (x^{2} - 6^{2}) = 0$

Paso 4.5

Factoriza.

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Paso 4.5.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 6$ .

$(2 x - 1) ((x + 6) (x - 6)) = 0$

Paso 4.5.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(2 x - 1) (x + 6) (x - 6) = 0$

Paso 5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$x + 6 = 0$

$x - 6 = 0$

Paso 6

Establece $2 x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.1

Establece $2 x - 1$ igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Paso 6.2

Resuelve $2 x - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 6.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = 1$

Paso 6.2.2

Divide cada término en $2 x = 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 6.2.2.1

Divide cada término en $2 x = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 6.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 6.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Paso 7

Establece $x + 6$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.1

Establece $x + 6$ igual a $0$ .

$x + 6 = 0$

Paso 7.2

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 6$

Paso 8

Establece $x - 6$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 8.1

Establece $x - 6$ igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Paso 8.2

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 6$

Paso 9

La solución final comprende todos los valores que hacen $(2 x - 1) (x + 6) (x - 6) = 0$ verdadera.

$x = \frac{1}{2}, - 6, 6$

Paso 10

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 6$

$- 6 < x < \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} < x < 6$

$x > 6$

Paso 11

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 11.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 6$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 6$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 8$

Paso 11.1.2

Reemplaza $x$ con $- 8$ en la desigualdad original.

$2 {(- 8)}^{3} - 72 \cdot - 8 < {(- 8)}^{2} - 36$

Paso 11.1.3

$- 448$ del lado izquierdo es menor que $28$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 11.2

Prueba un valor en el intervalo $- 6 < x < \frac{1}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 6 < x < \frac{1}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 11.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$2 {(0)}^{3} - 72 \cdot 0 < {(0)}^{2} - 36$

Paso 11.2.3

$0$ del lado izquierdo no es menor que $- 36$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 11.3

Prueba un valor en el intervalo $\frac{1}{2} < x < 6$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.3.1

Elije un valor en el intervalo $\frac{1}{2} < x < 6$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 3$

Paso 11.3.2

Reemplaza $x$ con $3$ en la desigualdad original.

$2 {(3)}^{3} - 72 \cdot 3 < {(3)}^{2} - 36$

Paso 11.3.3

$- 162$ del lado izquierdo es menor que $- 27$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 11.4

Prueba un valor en el intervalo $x > 6$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > 6$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 8$

Paso 11.4.2

Reemplaza $x$ con $8$ en la desigualdad original.

$2 {(8)}^{3} - 72 \cdot 8 < {(8)}^{2} - 36$

Paso 11.4.3

$448$ del lado izquierdo no es menor que $28$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 11.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 6$ Verdadero

$- 6 < x < \frac{1}{2}$ Falso

$\frac{1}{2} < x < 6$ Verdadero

$x > 6$ Falso

$x < - 6$ Verdadero

$- 6 < x < \frac{1}{2}$ Falso

$\frac{1}{2} < x < 6$ Verdadero

$x > 6$ Falso

Paso 12

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < - 6$ o $\frac{1}{2} < x < 6$

Paso 13

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(- \infty, - 6) \cup (\frac{1}{2}, 6)$

Paso 14