Precálculo Ejemplos

$y^{2} + 4 y - x + 1 = 0$

Paso 1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1

Aísla $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1.1

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.1.1.1

Resta $y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$4 y - x + 1 = - y^{2}$

Paso 1.1.1.2

Resta $4 y$ de ambos lados de la ecuación.

$- x + 1 = - y^{2} - 4 y$

Paso 1.1.1.3

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - y^{2} - 4 y - 1$

Paso 1.1.2

Divide cada término en $- x = - y^{2} - 4 y - 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 1.1.2.1

Divide cada término en $- x = - y^{2} - 4 y - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- y^{2}}{- 1} + \frac{- 4 y}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 1.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- y^{2}}{- 1} + \frac{- 4 y}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 1.1.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- y^{2}}{- 1} + \frac{- 4 y}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.3.1.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x = \frac{y^{2}}{1} + \frac{- 4 y}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 1.1.2.3.1.2

Divide $y^{2}$ por $1$ .

$x = y^{2} + \frac{- 4 y}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 1.1.2.3.1.3

Mueve el negativo del denominador de $\frac{- 4 y}{- 1}$ .

$x = y^{2} - 1 \cdot (- 4 y) + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 1.1.2.3.1.4

Reescribe $- 1 \cdot (- 4 y)$ como $- (- 4 y)$ .

$x = y^{2} - (- 4 y) + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 1.1.2.3.1.5

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$x = y^{2} + 4 y + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 1.1.2.3.1.6

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$x = y^{2} + 4 y + 1$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $y^{2} + 4 y + 1$ .

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Paso 1.2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = 4$

$c = 1$

Paso 1.2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{4}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.3.2

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 1.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

Paso 1.2.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{2}{1}$

Paso 1.2.3.2.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$d = 2$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 1 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.4.2.1.1

Cancela el factor común de $4^{2}$ y $4$ .

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Paso 1.2.4.2.1.1.1

Factoriza $4$ de $4^{2}$ .

$e = 1 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Paso 1.2.4.2.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.4.2.1.1.2.1

Factoriza $4$ de $4 \cdot 1$ .

$e = 1 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Paso 1.2.4.2.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$e = 1 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Paso 1.2.4.2.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$e = 1 - \frac{4}{1}$

Paso 1.2.4.2.1.1.2.4

Divide $4$ por $1$ .

$e = 1 - 1 \cdot 4$

Paso 1.2.4.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$e = 1 - 4$

Paso 1.2.4.2.2

Resta $4$ de $1$ .

$e = - 3$

Paso 1.2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(y + 2)}^{2} - 3$ .

${(y + 2)}^{2} - 3$

Paso 1.3

Establece $x$ igual al nuevo lado derecho.

$x = {(y + 2)}^{2} - 3$

Paso 2

Usa la forma de vértice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = 1$

$h = - 3$

$k = - 2$

Paso 3

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(- 3, - 2)$

Paso 4