Precálculo Ejemplos

$y = \frac{π}{2} + \sin (x)$

Paso 1

Intercambia las variables.

$x = \frac{π}{2} + \sin (y)$

Paso 2

Resuelve $y$

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación como $\frac{π}{2} + \sin (y) = x$ .

$\frac{π}{2} + \sin (y) = x$

Paso 2.2

Resta $\frac{π}{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$\sin (y) = x - \frac{π}{2}$

Paso 2.3

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior de seno.

$y = \arcsin (x - \frac{π}{2})$

Paso 3

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \arcsin (x - \frac{π}{2})$

Paso 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = \arcsin (x - \frac{π}{2})$ es la inversa de $f (x) = \frac{π}{2} + \sin (x)$ .

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Paso 4.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 4.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 4.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 4.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{π}{2} + \sin (x))$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{π}{2} + \sin (x)) = \arcsin ((\frac{π}{2} + \sin (x)) - \frac{π}{2})$

Paso 4.2.3

Combina los términos opuestos en $(\frac{π}{2} + \sin (x)) - \frac{π}{2}$ .

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Paso 4.2.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (\frac{π}{2} + \sin (x)) = \arcsin (\frac{π - π}{2} + \sin (x))$

Paso 4.2.3.2

Resta $π$ de $π$ .

$f^{- 1} (\frac{π}{2} + \sin (x)) = \arcsin (\frac{0}{2} + \sin (x))$

Paso 4.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 4.2.4.1

Divide $0$ por $2$ .

$f^{- 1} (\frac{π}{2} + \sin (x)) = \arcsin (0 + \sin (x))$

Paso 4.2.4.2

Suma $0$ y $\sin (x)$ .

$f^{- 1} (\frac{π}{2} + \sin (x)) = \arcsin (\sin (x))$

Paso 4.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 4.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 4.3.2

Evalúa $f (\arcsin (x - \frac{π}{2}))$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\arcsin (x - \frac{π}{2})) = \frac{π}{2} + \sin (\arcsin (x - \frac{π}{2}))$

Paso 4.3.3

Las funciones seno y arcoseno son inversas.

$f (\arcsin (x - \frac{π}{2})) = \frac{π}{2} + x - \frac{π}{2}$

Paso 4.3.4

Combina los términos opuestos en $\frac{π}{2} + x - \frac{π}{2}$ .

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Paso 4.3.4.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\arcsin (x - \frac{π}{2})) = x + \frac{π - π}{2}$

Paso 4.3.4.2

Resta $π$ de $π$ .

$f (\arcsin (x - \frac{π}{2})) = x + \frac{0}{2}$

Paso 4.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 4.3.5.1

Divide $0$ por $2$ .

$f (\arcsin (x - \frac{π}{2})) = x + 0$

Paso 4.3.5.2

Suma $x$ y $0$ .

$f (\arcsin (x - \frac{π}{2})) = x$

Paso 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \arcsin (x - \frac{π}{2})$ es la inversa de $f (x) = \frac{π}{2} + \sin (x)$ .

$f^{- 1} (x) = \arcsin (x - \frac{π}{2})$