Precálculo Ejemplos

$4 x^{3} - 11 x^{2} - 54 x + 45 = 0$

Paso 1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Factoriza $4 x^{3} - 11 x^{2} - 54 x + 45$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 1.1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 45, \pm 3, \pm 15, \pm 5, \pm 9$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Paso 1.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 45, \pm 11.25, \pm 22.5, \pm 3, \pm 0.75, \pm 1.5, \pm 15, \pm 3.75, \pm 7.5, \pm 5, \pm 1.25, \pm 2.5, \pm 9, \pm 2.25, \pm 4.5$

Paso 1.1.3

Sustituye $- 3$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $- 3$ es una raíz del polinomio.

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Paso 1.1.3.1

Sustituye $- 3$ en el polinomio.

$4 {(- 3)}^{3} - 11 {(- 3)}^{2} - 54 \cdot - 3 + 45$

Paso 1.1.3.2

Eleva $- 3$ a la potencia de $3$ .

$4 \cdot - 27 - 11 {(- 3)}^{2} - 54 \cdot - 3 + 45$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $4$ por $- 27$ .

$- 108 - 11 {(- 3)}^{2} - 54 \cdot - 3 + 45$

Paso 1.1.3.4

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$- 108 - 11 \cdot 9 - 54 \cdot - 3 + 45$

Paso 1.1.3.5

Multiplica $- 11$ por $9$ .

$- 108 - 99 - 54 \cdot - 3 + 45$

Paso 1.1.3.6

Resta $99$ de $- 108$ .

$- 207 - 54 \cdot - 3 + 45$

Paso 1.1.3.7

Multiplica $- 54$ por $- 3$ .

$- 207 + 162 + 45$

Paso 1.1.3.8

Suma $- 207$ y $162$ .

$- 45 + 45$

Paso 1.1.3.9

Suma $- 45$ y $45$ .

$0$

Paso 1.1.4

Como $- 3$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x + 3$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{4 x^{3} - 11 x^{2} - 54 x + 45}{x + 3}$

Paso 1.1.5

Divide $4 x^{3} - 11 x^{2} - 54 x + 45$ por $x + 3$ .

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Paso 1.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$3$

$4 x^{3}$

$11 x^{2}$

$54 x$

$45$

Paso 1.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $4 x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$4 x^{2}$
	$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$54 x$	+	$45$

Paso 1.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$4 x^{2}$
$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$54 x$	+	$45$
			+	$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$

Paso 1.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $4 x^{3} + 12 x^{2}$ .

				$4 x^{2}$
$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$54 x$	+	$45$
			-	$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$

Paso 1.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$4 x^{2}$
$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$54 x$	+	$45$
			-	$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$23 x^{2}$

Paso 1.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$4 x^{2}$
$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$54 x$	+	$45$
			-	$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$23 x^{2}$	-	$54 x$

Paso 1.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 23 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$4 x^{2}$	-	$23 x$
$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$54 x$	+	$45$
			-	$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$23 x^{2}$	-	$54 x$

Paso 1.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$4 x^{2}$	-	$23 x$
$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$54 x$	+	$45$
			-	$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$23 x^{2}$	-	$54 x$
					-	$23 x^{2}$	-	$69 x$

Paso 1.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 23 x^{2} - 69 x$ .

				$4 x^{2}$	-	$23 x$
$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$54 x$	+	$45$
			-	$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$23 x^{2}$	-	$54 x$
					+	$23 x^{2}$	+	$69 x$

Paso 1.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$4 x^{2}$	-	$23 x$
$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$54 x$	+	$45$
			-	$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$23 x^{2}$	-	$54 x$
					+	$23 x^{2}$	+	$69 x$
							+	$15 x$

Paso 1.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$4 x^{2}$	-	$23 x$
$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$54 x$	+	$45$
			-	$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$23 x^{2}$	-	$54 x$
					+	$23 x^{2}$	+	$69 x$
							+	$15 x$	+	$45$

Paso 1.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $15 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$4 x^{2}$	-	$23 x$	+	$15$
$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$54 x$	+	$45$
			-	$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$23 x^{2}$	-	$54 x$
					+	$23 x^{2}$	+	$69 x$
							+	$15 x$	+	$45$

Paso 1.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$4 x^{2}$	-	$23 x$	+	$15$
$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$54 x$	+	$45$
			-	$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$23 x^{2}$	-	$54 x$
					+	$23 x^{2}$	+	$69 x$
							+	$15 x$	+	$45$
							+	$15 x$	+	$45$

Paso 1.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $15 x + 45$ .

				$4 x^{2}$	-	$23 x$	+	$15$
$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$54 x$	+	$45$
			-	$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$23 x^{2}$	-	$54 x$
					+	$23 x^{2}$	+	$69 x$
							+	$15 x$	+	$45$
							-	$15 x$	-	$45$

Paso 1.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$4 x^{2}$	-	$23 x$	+	$15$
$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$54 x$	+	$45$
			-	$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$23 x^{2}$	-	$54 x$
					+	$23 x^{2}$	+	$69 x$
							+	$15 x$	+	$45$
							-	$15 x$	-	$45$
										$0$

Paso 1.1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$4 x^{2} - 23 x + 15$

Paso 1.1.6

Escribe $4 x^{3} - 11 x^{2} - 54 x + 45$ como un conjunto de factores.

$(x + 3) (4 x^{2} - 23 x + 15) = 0$

Paso 1.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.2.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 4 \cdot 15 = 60$ y cuya suma es $b = - 23$ .

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Paso 1.2.1.1.1

Factoriza $- 23$ de $- 23 x$ .

$(x + 3) (4 x^{2} - 23 x + 15) = 0$

Paso 1.2.1.1.2

Reescribe $- 23$ como $- 3$ más $- 20$

$(x + 3) (4 x^{2} + (- 3 - 20) x + 15) = 0$

Paso 1.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(x + 3) (4 x^{2} - 3 x - 20 x + 15) = 0$

Paso 1.2.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.2.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(x + 3) ((4 x^{2} - 3 x) - 20 x + 15) = 0$

Paso 1.2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$(x + 3) (x (4 x - 3) - 5 (4 x - 3)) = 0$

Paso 1.2.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $4 x - 3$ .

$(x + 3) ((4 x - 3) (x - 5)) = 0$

Paso 1.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x + 3) (4 x - 3) (x - 5) = 0$

Paso 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

$4 x - 3 = 0$

$x - 5 = 0$

Paso 3

Establece $x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 3.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 4

Establece $4 x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $4 x - 3$ igual a $0$ .

$4 x - 3 = 0$

Paso 4.2

Resuelve $4 x - 3 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$4 x = 3$

Paso 4.2.2

Divide cada término en $4 x = 3$ por $4$ y simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Divide cada término en $4 x = 3$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Paso 4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Paso 4.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{3}{4}$

Paso 5

Establece $x - 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece $x - 5$ igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Paso 5.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 5$

Paso 6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 3) (4 x - 3) (x - 5) = 0$ verdadera.

$x = - 3, \frac{3}{4}, 5$

Paso 7