Precálculo Ejemplos

$x^{2} - 4 y - 12 x + 68 = 0$

Paso 1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1

Aísla $y$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1.1

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.1.1.1

Resta $x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$- 4 y - 12 x + 68 = - x^{2}$

Paso 1.1.1.2

Suma $12 x$ a ambos lados de la ecuación.

$- 4 y + 68 = - x^{2} + 12 x$

Paso 1.1.1.3

Resta $68$ de ambos lados de la ecuación.

$- 4 y = - x^{2} + 12 x - 68$

Paso 1.1.2

Divide cada término en $- 4 y = - x^{2} + 12 x - 68$ por $- 4$ y simplifica.

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Paso 1.1.2.1

Divide cada término en $- 4 y = - x^{2} + 12 x - 68$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{- x^{2}}{- 4} + \frac{12 x}{- 4} + \frac{- 68}{- 4}$

Paso 1.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.2.1

Cancela el factor común de $- 4$ .

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Paso 1.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{- x^{2}}{- 4} + \frac{12 x}{- 4} + \frac{- 68}{- 4}$

Paso 1.1.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- x^{2}}{- 4} + \frac{12 x}{- 4} + \frac{- 68}{- 4}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.3.1.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{12 x}{- 4} + \frac{- 68}{- 4}$

Paso 1.1.2.3.1.2

Cancela el factor común de $12$ y $- 4$ .

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Paso 1.1.2.3.1.2.1

Factoriza $4$ de $12 x$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{4 (3 x)}{- 4} + \frac{- 68}{- 4}$

Paso 1.1.2.3.1.2.2

Mueve el negativo del denominador de $\frac{3 x}{- 1}$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} - 1 \cdot (3 x) + \frac{- 68}{- 4}$

Paso 1.1.2.3.1.3

Reescribe $- 1 \cdot (3 x)$ como $- (3 x)$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} - (3 x) + \frac{- 68}{- 4}$

Paso 1.1.2.3.1.4

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} - 3 x + \frac{- 68}{- 4}$

Paso 1.1.2.3.1.5

Divide $- 68$ por $- 4$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} - 3 x + 17$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $\frac{x^{2}}{4} - 3 x + 17$ .

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Paso 1.2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = \frac{1}{4}$

$b = - 3$

$c = 17$

Paso 1.2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 3}{2 (\frac{1}{4})}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{4}$ .

$d = \frac{- 3}{\frac{2}{4}}$

Paso 1.2.3.2.2

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 1.2.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$d = \frac{- 3}{\frac{2 (1)}{4}}$

Paso 1.2.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$d = \frac{- 3}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Paso 1.2.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{- 3}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Paso 1.2.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 3}{\frac{1}{2}}$

Paso 1.2.3.2.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = - 3 \cdot 2$

Paso 1.2.3.2.4

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$d = - 6$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 17 - \frac{{(- 3)}^{2}}{4 (\frac{1}{4})}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.4.2.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$e = 17 - \frac{9}{4 (\frac{1}{4})}$

Paso 1.2.4.2.1.2

Combina $4$ y $\frac{1}{4}$ .

$e = 17 - \frac{9}{\frac{4}{4}}$

Paso 1.2.4.2.1.3

Divide $4$ por $4$ .

$e = 17 - \frac{9}{1}$

Paso 1.2.4.2.1.4

Divide $9$ por $1$ .

$e = 17 - 1 \cdot 9$

Paso 1.2.4.2.1.5

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$e = 17 - 9$

Paso 1.2.4.2.2

Resta $9$ de $17$ .

$e = 8$

Paso 1.2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $\frac{1}{4} {(x - 6)}^{2} + 8$ .

$\frac{1}{4} {(x - 6)}^{2} + 8$

Paso 1.3

Establece $y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = \frac{1}{4} \cdot {(x - 6)}^{2} + 8$

Paso 2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = \frac{1}{4}$

$h = 6$

$k = 8$

Paso 3

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(6, 8)$

Paso 4