Precálculo Ejemplos

$\frac{3 x^{2} - 2 x - 5}{2 x + 7}$

Paso 1

Obtén dónde la expresión $\frac{3 x^{2} - 2 x - 5}{2 x + 7}$ no está definida.

$x = - \frac{7}{2}$

Paso 2

Considera la función racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ donde $n$ es el grado del numerador y $m$ es el grado del denominador.

1. Si $n < m$ , entonces el eje x, $y = 0$ , es la asíntota horizontal.

2. Si $n = m$ , entonces la asíntota horizontal es la línea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , entonces no hay asíntota horizontal (hay una asíntota oblicua).

Paso 3

Obtén $n$ y $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Paso 4

Como $n > m$ , no hay asíntota horizontal.

No hay asíntotas horizontales

Paso 5

Obtén la asíntota oblicua mediante la división polinómica.

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Paso 5.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 5.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot - 5 = - 15$ y cuya suma es $b = - 2$ .

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Paso 5.1.1.1

Factoriza $- 2$ de $- 2 x$ .

$\frac{3 x^{2} - 2 (x) - 5}{2 x + 7}$

Paso 5.1.1.2

Reescribe $- 2$ como $3$ más $- 5$

$\frac{3 x^{2} + (3 - 5) x - 5}{2 x + 7}$

Paso 5.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x^{2} + 3 x - 5 x - 5}{2 x + 7}$

Paso 5.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 5.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(3 x^{2} + 3 x) - 5 x - 5}{2 x + 7}$

Paso 5.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{3 x (x + 1) - 5 (x + 1)}{2 x + 7}$

Paso 5.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $x + 1$ .

$\frac{(x + 1) (3 x - 5)}{2 x + 7}$

Paso 5.2

Expande $(x + 1) (3 x - 5)$ .

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Paso 5.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (3 x - 5) + 1 (3 x - 5)}{2 x + 7}$

Paso 5.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (3 x) + x \cdot - 5 + 1 (3 x - 5)}{2 x + 7}$

Paso 5.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (3 x) + x \cdot - 5 + 1 (3 x) + 1 \cdot - 5}{2 x + 7}$

Paso 5.2.4

Elimina los paréntesis.

$\frac{x \cdot (3 x) + x \cdot - 5 + 1 (3 x) + 1 \cdot - 5}{2 x + 7}$

Paso 5.2.5

Reordena $x$ y $3$ .

$\frac{3 \cdot (x \cdot x) + x \cdot - 5 + 1 (3 x) + 1 \cdot - 5}{2 x + 7}$

Paso 5.2.6

Reordena $x$ y $- 5$ .

$\frac{3 \cdot (x \cdot x) - 5 \cdot x + 1 (3 x) + 1 \cdot - 5}{2 x + 7}$

Paso 5.2.7

Elimina los paréntesis.

$\frac{3 \cdot (x \cdot x) - 5 \cdot x + 1 \cdot (3 x) + 1 \cdot - 5}{2 x + 7}$

Paso 5.2.8

Multiplica $3$ por $x$ .

$\frac{3 x \cdot x - 5 x + 1 \cdot (3 x) + 1 \cdot - 5}{2 x + 7}$

Paso 5.2.9

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 (x \cdot x) - 5 x + 1 \cdot (3 x) + 1 \cdot - 5}{2 x + 7}$

Paso 5.2.10

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 (x \cdot x) - 5 x + 1 \cdot (3 x) + 1 \cdot - 5}{2 x + 7}$

Paso 5.2.11

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 x^{1 + 1} - 5 x + 1 \cdot (3 x) + 1 \cdot - 5}{2 x + 7}$

Paso 5.2.12

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{3 x^{2} - 5 x + 1 \cdot (3 x) + 1 \cdot - 5}{2 x + 7}$

Paso 5.2.13

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{3 x^{2} - 5 x + 3 x + 1 \cdot - 5}{2 x + 7}$

Paso 5.2.14

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$\frac{3 x^{2} - 5 x + 3 x - 5}{2 x + 7}$

Paso 5.2.15

Suma $- 5 x$ y $3 x$ .

$\frac{3 x^{2} - 2 x - 5}{2 x + 7}$

Paso 5.3

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$2 x$

$7$

$3 x^{2}$

$2 x$

$5$

Paso 5.4

Divide el término de mayor orden en el dividendo $3 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $2 x$ .

					$\frac{3 x}{2}$
	$2 x$	+	$7$		$3 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$

Paso 5.5

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$\frac{3 x}{2}$
$2 x$	+	$7$		$3 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			+	$3 x^{2}$	+	$\frac{21 x}{2}$

Paso 5.6

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $3 x^{2} + \frac{21 x}{2}$ .

				$\frac{3 x}{2}$
$2 x$	+	$7$		$3 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$3 x^{2}$	-	$\frac{21 x}{2}$

Paso 5.7

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$\frac{3 x}{2}$
$2 x$	+	$7$		$3 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$3 x^{2}$	-	$\frac{21 x}{2}$
					-	$\frac{25 x}{2}$

Paso 5.8

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$\frac{3 x}{2}$
$2 x$	+	$7$		$3 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$3 x^{2}$	-	$\frac{21 x}{2}$
					-	$\frac{25 x}{2}$	-	$5$

Paso 5.9

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- \frac{25 x}{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $2 x$ .

				$\frac{3 x}{2}$	-	$\frac{25}{4}$
$2 x$	+	$7$		$3 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$3 x^{2}$	-	$\frac{21 x}{2}$
					-	$\frac{25 x}{2}$	-	$5$

Paso 5.10

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$\frac{3 x}{2}$	-	$\frac{25}{4}$
$2 x$	+	$7$		$3 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$3 x^{2}$	-	$\frac{21 x}{2}$
					-	$\frac{25 x}{2}$	-	$5$
					-	$\frac{25 x}{2}$	-	$\frac{175}{4}$

Paso 5.11

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- \frac{25 x}{2} - \frac{175}{4}$ .

				$\frac{3 x}{2}$	-	$\frac{25}{4}$
$2 x$	+	$7$		$3 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$3 x^{2}$	-	$\frac{21 x}{2}$
					-	$\frac{25 x}{2}$	-	$5$
					+	$\frac{25 x}{2}$	+	$\frac{175}{4}$

Paso 5.12

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$\frac{3 x}{2}$	-	$\frac{25}{4}$
$2 x$	+	$7$		$3 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$3 x^{2}$	-	$\frac{21 x}{2}$
					-	$\frac{25 x}{2}$	-	$5$
					+	$\frac{25 x}{2}$	+	$\frac{175}{4}$
							+	$\frac{155}{4}$

Paso 5.13

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$\frac{3 x}{2} - \frac{25}{4} + \frac{155}{4 (2 x + 7)}$

Paso 5.14

La asíntota oblicua es la parte polinómica del resultado de la división larga.

$y = \frac{3 x}{2} - \frac{25}{4}$

Paso 6

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

Asíntotas verticales: $x = - \frac{7}{2}$

No hay asíntotas horizontales

Asíntotas oblicuas: $y = \frac{3 x}{2} - \frac{25}{4}$

Paso 7