Precálculo Ejemplos

$\frac{5 x^{2} - 18 x + 24}{x^{3} - 4 x^{2} + 4 x}$

Paso 1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 1.1

Factoriza la fracción.

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Paso 1.1.1

Factoriza $x$ de $x^{3} - 4 x^{2} + 4 x$ .

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Paso 1.1.1.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{5 x^{2} - 18 x + 24}{x \cdot x^{2} - 4 x^{2} + 4 x}$

Paso 1.1.1.2

Factoriza $x$ de $- 4 x^{2}$ .

$\frac{5 x^{2} - 18 x + 24}{x \cdot x^{2} + x (- 4 x) + 4 x}$

Paso 1.1.1.3

Factoriza $x$ de $4 x$ .

$\frac{5 x^{2} - 18 x + 24}{x \cdot x^{2} + x (- 4 x) + x \cdot 4}$

Paso 1.1.1.4

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{2} + x (- 4 x)$ .

$\frac{5 x^{2} - 18 x + 24}{x (x^{2} - 4 x) + x \cdot 4}$

Paso 1.1.1.5

Factoriza $x$ de $x (x^{2} - 4 x) + x \cdot 4$ .

$\frac{5 x^{2} - 18 x + 24}{x (x^{2} - 4 x + 4)}$

Paso 1.1.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 1.1.2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{5 x^{2} - 18 x + 24}{x (x^{2} - 4 x + 2^{2})}$

Paso 1.1.2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Paso 1.1.2.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{5 x^{2} - 18 x + 24}{x (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2})}$

Paso 1.1.2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$\frac{5 x^{2} - 18 x + 24}{x {(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.3

$\frac{A}{x} + \frac{B}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{C}{x - 2}$

Paso 1.4

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $x {(x - 2)}^{2}$ .

$\frac{(5 x^{2} - 18 x + 24) (x {(x - 2)}^{2})}{x {(x - 2)}^{2}} = \frac{A (x {(x - 2)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

Paso 1.5

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{(5 x^{2} - 18 x + 24) (x {(x - 2)}^{2})}{x {(x - 2)}^{2}} = \frac{A (x {(x - 2)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

Paso 1.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(5 x^{2} - 18 x + 24) ({(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{A (x {(x - 2)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

Paso 1.6

Cancela el factor común de ${(x - 2)}^{2}$ .

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Paso 1.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{(5 x^{2} - 18 x + 24) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{A (x {(x - 2)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

Paso 1.6.2

Divide $5 x^{2} - 18 x + 24$ por $1$ .

$5 x^{2} - 18 x + 24 = \frac{A (x {(x - 2)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

Paso 1.7

Simplifica cada término.

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Paso 1.7.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.7.1.1

Cancela el factor común.

$5 x^{2} - 18 x + 24 = \frac{A (x {(x - 2)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

Paso 1.7.1.2

Divide $A ({(x - 2)}^{2})$ por $1$ .

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A ({(x - 2)}^{2}) + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

Paso 1.7.2

Reescribe ${(x - 2)}^{2}$ como $(x - 2) (x - 2)$ .

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A ((x - 2) (x - 2)) + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

Paso 1.7.3

Expande $(x - 2) (x - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.7.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A (x (x - 2) - 2 (x - 2)) + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

Paso 1.7.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)) + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

Paso 1.7.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

Paso 1.7.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.7.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.7.4.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

Paso 1.7.4.1.2

Mueve $- 2$ a la izquierda de $x$ .

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2) + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

Paso 1.7.4.1.3

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A (x^{2} - 2 x - 2 x + 4) + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

Paso 1.7.4.2

Resta $2 x$ de $- 2 x$ .

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A (x^{2} - 4 x + 4) + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

Paso 1.7.5

Aplica la propiedad distributiva.

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A x^{2} + A (- 4 x) + A \cdot 4 + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

Paso 1.7.6

Simplifica.

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Paso 1.7.6.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A x^{2} - 4 A x + A \cdot 4 + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

Paso 1.7.6.2

Mueve $4$ a la izquierda de $A$ .

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A x^{2} - 4 A x + 4 \cdot A + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

Paso 1.7.7

Cancela el factor común de ${(x - 2)}^{2}$ .

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Paso 1.7.7.1

Cancela el factor común.

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A x^{2} - 4 A x + 4 A + \frac{B (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

Paso 1.7.7.2

Divide $(B) (x)$ por $1$ .

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A x^{2} - 4 A x + 4 A + (B) (x) + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

Paso 1.7.8

Cancela el factor común de ${(x - 2)}^{2}$ y $x - 2$ .

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Paso 1.7.8.1

Factoriza $x - 2$ de $(C) (x {(x - 2)}^{2})$ .

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A x^{2} - 4 A x + 4 A + B x + \frac{(x - 2) (C (x (x - 2)))}{x - 2}$

Paso 1.7.8.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.7.8.2.1

Multiplica por $1$ .

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A x^{2} - 4 A x + 4 A + B x + \frac{(x - 2) (C (x (x - 2)))}{(x - 2) \cdot 1}$

Paso 1.7.8.2.2

Cancela el factor común.

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A x^{2} - 4 A x + 4 A + B x + \frac{(x - 2) (C (x (x - 2)))}{(x - 2) \cdot 1}$

Paso 1.7.8.2.3

Reescribe la expresión.

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A x^{2} - 4 A x + 4 A + B x + \frac{C (x (x - 2))}{1}$

Paso 1.7.8.2.4

Divide $C (x (x - 2))$ por $1$ .

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A x^{2} - 4 A x + 4 A + B x + C (x (x - 2))$

Paso 1.7.9

Aplica la propiedad distributiva.

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A x^{2} - 4 A x + 4 A + B x + C (x \cdot x + x \cdot - 2)$

Paso 1.7.10

Multiplica $x$ por $x$ .

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A x^{2} - 4 A x + 4 A + B x + C (x^{2} + x \cdot - 2)$

Paso 1.7.11

Mueve $- 2$ a la izquierda de $x$ .

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A x^{2} - 4 A x + 4 A + B x + C (x^{2} - 2 \cdot x)$

Paso 1.7.12

Aplica la propiedad distributiva.

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A x^{2} - 4 A x + 4 A + B x + C x^{2} + C (- 2 x)$

Paso 1.7.13

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A x^{2} - 4 A x + 4 A + B x + C x^{2} - 2 C x$

Paso 1.8

Simplifica la expresión.

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Paso 1.8.1

Mueve $A$ .

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A x^{2} - 4 x A + 4 A + B x + C x^{2} - 2 C x$

Paso 1.8.2

Reordena $B$ y $x$ .

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A x^{2} - 4 x A + 4 A + B x + C x^{2} - 2 C x$

Paso 1.8.3

Mueve $4 A$ .

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A x^{2} - 4 x A + B x + C x^{2} - 2 C x + 4 A$

Paso 1.8.4

Mueve $B x$ .

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A x^{2} - 4 x A + C x^{2} + B x - 2 C x + 4 A$

Paso 1.8.5

Mueve $- 4 x A$ .

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A x^{2} + C x^{2} - 4 x A + B x - 2 C x + 4 A$

Paso 2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x^{2}$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$5 = A + C$

Paso 2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$- 18 = - 4 A + B - 2 C$

Paso 2.3

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$24 = 4 A$

Paso 2.4

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$5 = A + C$

$- 18 = - 4 A + B - 2 C$

$24 = 4 A$

$5 = A + C$

$- 18 = - 4 A + B - 2 C$

$24 = 4 A$

Paso 3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 3.1

Resuelve $A$ en $24 = 4 A$ .

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Paso 3.1.1

Reescribe la ecuación como $4 A = 24$ .

$4 A = 24$

$5 = A + C$

$- 18 = - 4 A + B - 2 C$

Paso 3.1.2

Divide cada término en $4 A = 24$ por $4$ y simplifica.

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Paso 3.1.2.1

Divide cada término en $4 A = 24$ por $4$ .

$\frac{4 A}{4} = \frac{24}{4}$

$5 = A + C$

$- 18 = - 4 A + B - 2 C$

Paso 3.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 A}{4} = \frac{24}{4}$

$5 = A + C$

$- 18 = - 4 A + B - 2 C$

Paso 3.1.2.2.1.2

Divide $A$ por $1$ .

$A = \frac{24}{4}$

$5 = A + C$

$- 18 = - 4 A + B - 2 C$

$A = \frac{24}{4}$

$5 = A + C$

$- 18 = - 4 A + B - 2 C$

$A = \frac{24}{4}$

$5 = A + C$

$- 18 = - 4 A + B - 2 C$

Paso 3.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1.2.3.1

Divide $24$ por $4$ .

$A = 6$

$5 = A + C$

$- 18 = - 4 A + B - 2 C$

$A = 6$

$5 = A + C$

$- 18 = - 4 A + B - 2 C$

$A = 6$

$5 = A + C$

$- 18 = - 4 A + B - 2 C$

$A = 6$

$5 = A + C$

$- 18 = - 4 A + B - 2 C$

Paso 3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $6$ en cada ecuación.

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Paso 3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $5 = A + C$ por $6$ .

$5 = (6) + C$

$A = 6$

$- 18 = - 4 A + B - 2 C$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Elimina los paréntesis.

$5 = 6 + C$

$A = 6$

$- 18 = - 4 A + B - 2 C$

$5 = 6 + C$

$A = 6$

$- 18 = - 4 A + B - 2 C$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $A$ en $- 18 = - 4 A + B - 2 C$ por $6$ .

$- 18 = - 4 \cdot 6 + B - 2 C$

$5 = 6 + C$

$A = 6$

Paso 3.2.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.4.1

Multiplica $- 4$ por $6$ .

$- 18 = - 24 + B - 2 C$

$5 = 6 + C$

$A = 6$

$- 18 = - 24 + B - 2 C$

$5 = 6 + C$

$A = 6$

$- 18 = - 24 + B - 2 C$

$5 = 6 + C$

$A = 6$

Paso 3.3

Resuelve $C$ en $5 = 6 + C$ .

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $6 + C = 5$ .

$6 + C = 5$

$- 18 = - 24 + B - 2 C$

$A = 6$

Paso 3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $C$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$C = 5 - 6$

$- 18 = - 24 + B - 2 C$

$A = 6$

Paso 3.3.2.2

Resta $6$ de $5$ .

$C = - 1$

$- 18 = - 24 + B - 2 C$

$A = 6$

$C = - 1$

$- 18 = - 24 + B - 2 C$

$A = 6$

$C = - 1$

$- 18 = - 24 + B - 2 C$

$A = 6$

Paso 3.4

Reemplaza todos los casos de $C$ por $- 1$ en cada ecuación.

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Paso 3.4.1

Reemplaza todos los casos de $C$ en $- 18 = - 24 + B - 2 C$ por $- 1$ .

$- 18 = - 24 + B - 2 \cdot - 1$

$C = - 1$

$A = 6$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.1

Simplifica $- 24 + B - 2 \cdot - 1$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$- 18 = - 24 + B + 2$

$C = - 1$

$A = 6$

Paso 3.4.2.1.2

Suma $- 24$ y $2$ .

$- 18 = B - 22$

$C = - 1$

$A = 6$

$- 18 = B - 22$

$C = - 1$

$A = 6$

$- 18 = B - 22$

$C = - 1$

$A = 6$

$- 18 = B - 22$

$C = - 1$

$A = 6$

Paso 3.5

Resuelve $B$ en $- 18 = B - 22$ .

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Paso 3.5.1

Reescribe la ecuación como $B - 22 = - 18$ .

$B - 22 = - 18$

$C = - 1$

$A = 6$

Paso 3.5.2

Mueve todos los términos que no contengan $B$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.5.2.1

Suma $22$ a ambos lados de la ecuación.

$B = - 18 + 22$

$C = - 1$

$A = 6$

Paso 3.5.2.2

Suma $- 18$ y $22$ .

$B = 4$

$C = - 1$

$A = 6$

$B = 4$

$C = - 1$

$A = 6$

$B = 4$

$C = - 1$

$A = 6$

Paso 3.6

Resuelve el sistema de ecuaciones.

$B = 4 C = - 1 A = 6$

Paso 3.7

Enumera todas las soluciones.

$B = 4, C = - 1, A = 6$

Paso 4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{x} + \frac{B}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{C}{x - 2}$ con los valores obtenidos para $A$ , $B$ y $C$ .

$\frac{6}{x} + \frac{4}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{- 1}{x - 2}$