Precálculo Ejemplos

${(3 x - 2 y)}^{3}$

Paso 1

El triángulo de Pascal se puede visualizar de la siguiente manera:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

El triángulo puede usarse para calcular los coeficientes de la expansión de ${(a + b)}^{n}$ al tomar el exponente $n$ y sumar $1$ . Los coeficientes se corresponderán con la línea $n + 1$ del triángulo. Para ${(3 x - 2 y)}^{3}$ , $n = 3$ de modo que los coeficientes de la expansión se corresponderán con la línea $4$ .

Paso 2

La expansión sigue la regla ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Los valores de los coeficientes, desde el triángulo, son $1 - 3 - 3 - 1$ .

$1 a^{3} b^{0} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + 1 a^{0} b^{3}$

Paso 3

Sustituye los valores reales de $a$ , $3 x$ y $b$ en la expresión $- 2 y$ .

$1 {(3 x)}^{3} {(- 2 y)}^{0} + 3 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{1} + 3 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{3}$

Paso 4

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Multiplica ${(3 x)}^{3}$ por $1$ .

${(3 x)}^{3} {(- 2 y)}^{0} + 3 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{1} + 3 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{3}$

Paso 4.2

Aplica la regla del producto a $3 x$ .

$3^{3} x^{3} {(- 2 y)}^{0} + 3 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{1} + 3 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{3}$

Paso 4.3

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$27 x^{3} {(- 2 y)}^{0} + 3 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{1} + 3 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{3}$

Paso 4.4

Aplica la regla del producto a $- 2 y$ .

$27 x^{3} ({(- 2)}^{0} y^{0}) + 3 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{1} + 3 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{3}$

Paso 4.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$27 \cdot {(- 2)}^{0} x^{3} y^{0} + 3 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{1} + 3 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{3}$

Paso 4.6

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$27 \cdot 1 x^{3} y^{0} + 3 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{1} + 3 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{3}$

Paso 4.7

Multiplica $27$ por $1$ .

$27 x^{3} y^{0} + 3 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{1} + 3 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{3}$

Paso 4.8

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$27 x^{3} \cdot 1 + 3 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{1} + 3 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{3}$

Paso 4.9

Multiplica $27$ por $1$ .

$27 x^{3} + 3 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{1} + 3 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{3}$

Paso 4.10

Aplica la regla del producto a $3 x$ .

$27 x^{3} + 3 (3^{2} x^{2}) {(- 2 y)}^{1} + 3 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{3}$

Paso 4.11

Multiplica $3$ por $3^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.11.1

Mueve $3^{2}$ .

$27 x^{3} + 3^{2} \cdot 3 x^{2} {(- 2 y)}^{1} + 3 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{3}$

Paso 4.11.2

Multiplica $3^{2}$ por $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.11.2.1

Eleva $3$ a la potencia de $1$ .

$27 x^{3} + 3^{2} \cdot 3^{1} x^{2} {(- 2 y)}^{1} + 3 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{3}$

Paso 4.11.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$27 x^{3} + 3^{2 + 1} x^{2} {(- 2 y)}^{1} + 3 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{3}$

Paso 4.11.3

Suma $2$ y $1$ .

$27 x^{3} + 3^{3} x^{2} {(- 2 y)}^{1} + 3 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{3}$

Paso 4.12

Simplifica $3^{3} x^{2} {(- 2 y)}^{1}$ .

$27 x^{3} + 3^{3} x^{2} (- 2 y) + 3 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{3}$

Paso 4.13

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$27 x^{3} + 3^{3} \cdot - 2 x^{2} y + 3 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{3}$

Paso 4.14

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$27 x^{3} + 27 \cdot - 2 x^{2} y + 3 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{3}$

Paso 4.15

Multiplica $27$ por $- 2$ .

$27 x^{3} - 54 x^{2} y + 3 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{3}$

Paso 4.16

Simplifica.

$27 x^{3} - 54 x^{2} y + 3 (3 x) {(- 2 y)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{3}$

Paso 4.17

Multiplica $3$ por $3$ .

$27 x^{3} - 54 x^{2} y + 9 x {(- 2 y)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{3}$

Paso 4.18

Aplica la regla del producto a $- 2 y$ .

$27 x^{3} - 54 x^{2} y + 9 x ({(- 2)}^{2} y^{2}) + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{3}$

Paso 4.19

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$27 x^{3} - 54 x^{2} y + 9 \cdot {(- 2)}^{2} x y^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{3}$

Paso 4.20

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$27 x^{3} - 54 x^{2} y + 9 \cdot 4 x y^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{3}$

Paso 4.21

Multiplica $9$ por $4$ .

$27 x^{3} - 54 x^{2} y + 36 x y^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{3}$

Paso 4.22

Multiplica ${(3 x)}^{0}$ por $1$ .

$27 x^{3} - 54 x^{2} y + 36 x y^{2} + {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{3}$

Paso 4.23

Aplica la regla del producto a $3 x$ .

$27 x^{3} - 54 x^{2} y + 36 x y^{2} + 3^{0} x^{0} {(- 2 y)}^{3}$

Paso 4.24

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$27 x^{3} - 54 x^{2} y + 36 x y^{2} + 1 x^{0} {(- 2 y)}^{3}$

Paso 4.25

Multiplica $x^{0}$ por $1$ .

$27 x^{3} - 54 x^{2} y + 36 x y^{2} + x^{0} {(- 2 y)}^{3}$

Paso 4.26

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$27 x^{3} - 54 x^{2} y + 36 x y^{2} + 1 {(- 2 y)}^{3}$

Paso 4.27

Multiplica ${(- 2 y)}^{3}$ por $1$ .

$27 x^{3} - 54 x^{2} y + 36 x y^{2} + {(- 2 y)}^{3}$

Paso 4.28

Aplica la regla del producto a $- 2 y$ .

$27 x^{3} - 54 x^{2} y + 36 x y^{2} + {(- 2)}^{3} y^{3}$

Paso 4.29

Eleva $- 2$ a la potencia de $3$ .

$27 x^{3} - 54 x^{2} y + 36 x y^{2} - 8 y^{3}$