Precálculo Ejemplos

$\cos (θ) = - \frac{1}{2}$

Paso 1

Multiplica cada término por un factor de $1$ que igualará todos los denominadores. En este caso, todos los términos necesitan un denominador de $2$ .

$\cos (θ) \cdot \frac{2}{2} = - \frac{1}{2}$

Paso 2

Multiplica la expresión por un factor de $1$ para crear el mínimo común denominador (mcd) de $2$ .

$\cos (θ) \cdot 2$

Paso 3

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos (θ)$ .

$\frac{2 \cos (θ)}{2} = - \frac{1}{2}$

Paso 4

Simplifica $\cos (θ) \cdot \frac{2}{2}$ .

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Paso 4.1

Divide $2$ por $2$ .

$\cos (θ) \cdot 1 = - \frac{1}{2}$

Paso 4.2

Multiplica $\cos (θ)$ por $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{1}{2}$

Paso 5

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior del coseno.

$θ = \arccos (- \frac{1}{2})$

Paso 6

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.1

El valor exacto de $\arccos (- \frac{1}{2})$ es $\frac{2 π}{3}$ .

$θ = \frac{2 π}{3}$

Paso 7

El coseno es negativo en el segundo y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$θ = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Paso 8

Simplifica $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

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Paso 8.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Paso 8.2

Combina fracciones.

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Paso 8.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{3}{3}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Paso 8.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$θ = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Paso 8.3

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$θ = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Paso 8.3.2

Resta $2 π$ de $6 π$ .

$θ = \frac{4 π}{3}$

Paso 9

Obtén el período de $\cos (θ)$ .

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Paso 9.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 9.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 9.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 9.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 10

El período de la función $\cos (θ)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$θ = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$