Precálculo Ejemplos

$5 x^{2} + 9 y^{2} - 80 x + 54 y + 221 = 0$

Paso 1

Obtén la ecuación ordinaria de la elipse.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Resta $221$ de ambos lados de la ecuación.

$5 x^{2} + 9 y^{2} - 80 x + 54 y = - 221$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $5 x^{2} - 80 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 5$

$b = - 80$

$c = 0$

Paso 1.2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 80}{2 \cdot 5}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.2.1

Cancela el factor común de $- 80$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 80$ .

$d = \frac{2 \cdot - 40}{2 \cdot 5}$

Paso 1.2.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 5$ .

$d = \frac{2 \cdot - 40}{2 (5)}$

Paso 1.2.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 40}{2 \cdot 5}$

Paso 1.2.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 40}{5}$

Paso 1.2.3.2.2

Cancela el factor común de $- 40$ y $5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.2.2.1

Factoriza $5$ de $- 40$ .

$d = \frac{5 \cdot - 8}{5}$

Paso 1.2.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.2.2.2.1

Factoriza $5$ de $5$ .

$d = \frac{5 \cdot - 8}{5 (1)}$

Paso 1.2.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{5 \cdot - 8}{5 \cdot 1}$

Paso 1.2.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 8}{1}$

Paso 1.2.3.2.2.2.4

Divide $- 8$ por $1$ .

$d = - 8$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 80)}^{2}}{4 \cdot 5}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.4.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.4.2.1.1

Eleva $- 80$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{6400}{4 \cdot 5}$

Paso 1.2.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $5$ .

$e = 0 - \frac{6400}{20}$

Paso 1.2.4.2.1.3

Divide $6400$ por $20$ .

$e = 0 - 1 \cdot 320$

Paso 1.2.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $320$ .

$e = 0 - 320$

Paso 1.2.4.2.2

Resta $320$ de $0$ .

$e = - 320$

Paso 1.2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $5 {(x - 8)}^{2} - 320$ .

$5 {(x - 8)}^{2} - 320$

Paso 1.3

Sustituye $5 {(x - 8)}^{2} - 320$ por $5 x^{2} - 80 x$ en la ecuación $5 x^{2} + 9 y^{2} - 80 x + 54 y = - 221$ .

$5 {(x - 8)}^{2} - 320 + 9 y^{2} + 54 y = - 221$

Paso 1.4

Mueve $- 320$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $320$ a ambos lados.

$5 {(x - 8)}^{2} + 9 y^{2} + 54 y = - 221 + 320$

Paso 1.5

Completa el cuadrado de $9 y^{2} + 54 y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 9$

$b = 54$

$c = 0$

Paso 1.5.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.5.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{54}{2 \cdot 9}$

Paso 1.5.3.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.3.2.1

Cancela el factor común de $54$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $54$ .

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot 9}$

Paso 1.5.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 (9)}$

Paso 1.5.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot 9}$

Paso 1.5.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{27}{9}$

Paso 1.5.3.2.2

Cancela el factor común de $27$ y $9$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.3.2.2.1

Factoriza $9$ de $27$ .

$d = \frac{9 \cdot 3}{9}$

Paso 1.5.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.3.2.2.2.1

Factoriza $9$ de $9$ .

$d = \frac{9 \cdot 3}{9 (1)}$

Paso 1.5.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{9 \cdot 3}{9 \cdot 1}$

Paso 1.5.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{3}{1}$

Paso 1.5.3.2.2.2.4

Divide $3$ por $1$ .

$d = 3$

Paso 1.5.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{54^{2}}{4 \cdot 9}$

Paso 1.5.4.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.4.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.4.2.1.1

Eleva $54$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{2916}{4 \cdot 9}$

Paso 1.5.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $9$ .

$e = 0 - \frac{2916}{36}$

Paso 1.5.4.2.1.3

Divide $2916$ por $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 81$

Paso 1.5.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $81$ .

$e = 0 - 81$

Paso 1.5.4.2.2

Resta $81$ de $0$ .

$e = - 81$

Paso 1.5.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $9 {(y + 3)}^{2} - 81$ .

$9 {(y + 3)}^{2} - 81$

Paso 1.6

Sustituye $9 {(y + 3)}^{2} - 81$ por $9 y^{2} + 54 y$ en la ecuación $5 x^{2} + 9 y^{2} - 80 x + 54 y = - 221$ .

$5 {(x - 8)}^{2} + 9 {(y + 3)}^{2} - 81 = - 221 + 320$

Paso 1.7

Mueve $- 81$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $81$ a ambos lados.

$5 {(x - 8)}^{2} + 9 {(y + 3)}^{2} = - 221 + 320 + 81$

Paso 1.8

Simplifica $- 221 + 320 + 81$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.8.1

Suma $- 221$ y $320$ .

$5 {(x - 8)}^{2} + 9 {(y + 3)}^{2} = 99 + 81$

Paso 1.8.2

Suma $99$ y $81$ .

$5 {(x - 8)}^{2} + 9 {(y + 3)}^{2} = 180$

Paso 1.9

Divide cada término por $180$ para que el lado derecho sea igual a uno.

$\frac{5 {(x - 8)}^{2}}{180} + \frac{9 {(y + 3)}^{2}}{180} = \frac{180}{180}$

Paso 1.10

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{{(x - 8)}^{2}}{36} + \frac{{(y + 3)}^{2}}{20} = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una elipse. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener el centro, junto con los ejes mayor y menor de la elipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta elipse con los de la ecuación ordinaria. La variable $a$ representa el radio del eje mayor de la elipse, $b$ representa el radio del eje menor de la elipse, $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen y $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen.

$a = 6$

$b = 2 \sqrt{5}$

$k = - 3$

$h = 8$

Paso 4

El centro de una elipse sigue la forma de $(h, k)$ . Sustituye los valores de $h$ y $k$ .

$(8, - 3)$

Paso 5

Obtén $c$ , la distancia desde el centro hasta un foco.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Obtén la distancia desde el centro hasta un foco de la elipse con la siguiente fórmula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Paso 5.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\sqrt{{(6)}^{2} - {(2 \sqrt{5})}^{2}}$

Paso 5.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1.1

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{36 - {(2 \sqrt{5})}^{2}}$

Paso 5.3.1.2

Aplica la regla del producto a $2 \sqrt{5}$ .

$\sqrt{36 - (2^{2} {\sqrt{5}}^{2})}$

Paso 5.3.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{36 - (4 {\sqrt{5}}^{2})}$

Paso 5.3.2

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{36 - (4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Paso 5.3.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{36 - (4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

Paso 5.3.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{36 - (4 \cdot 5^{\frac{2}{2}})}$

Paso 5.3.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{36 - (4 \cdot 5^{\frac{2}{2}})}$

Paso 5.3.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{36 - (4 \cdot 5^{1})}$

Paso 5.3.2.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{36 - (4 \cdot 5)}$

Paso 5.3.3

Multiplica $- (4 \cdot 5)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.1

Multiplica $4$ por $5$ .

$\sqrt{36 - 1 \cdot 20}$

Paso 5.3.3.2

Multiplica $- 1$ por $20$ .

$\sqrt{36 - 20}$

Paso 5.3.4

Resta $20$ de $36$ .

$\sqrt{16}$

Paso 5.3.5

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$\sqrt{4^{2}}$

Paso 5.3.6

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$4$

Paso 6

Obtén los vértices.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

El primer vértice de una elipse puede obtenerse al sumar $a$ a $h$ .

$(h + a, k)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula.

$(8 + 6, - 3)$

Paso 6.3

Simplifica.

$(14, - 3)$

Paso 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

Paso 6.5

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula.

$(8 - (6), - 3)$

Paso 6.6

Simplifica.

$(2, - 3)$

Paso 6.7

Las elipses tienen dos vértices.

${Vertex}_{1}$ : $(14, - 3)$

${Vertex}_{2}$ : $(2, - 3)$

${Vertex}_{1}$ : $(14, - 3)$

${Vertex}_{2}$ : $(2, - 3)$

Paso 7

Obtén los focos.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

El primer foco de una elipse puede obtenerse al sumar $c$ a $h$ .

$(h + c, k)$

Paso 7.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula.

$(8 + 4, - 3)$

Paso 7.3

Simplifica.

$(12, - 3)$

Paso 7.4

El segundo foco de una elipse puede obtenerse mediante la resta de $c$ de $h$ .

$(h - c, k)$

Paso 7.5

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula.

$(8 - (4), - 3)$

Paso 7.6

Simplifica.

$(4, - 3)$

Paso 7.7

Las elipses tienen dos focos.

${Focus}_{1}$ : $(12, - 3)$

${Focus}_{2}$ : $(4, - 3)$

${Focus}_{1}$ : $(12, - 3)$

${Focus}_{2}$ : $(4, - 3)$

Paso 8

Obtén la excentricidad.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Obtén la excentricidad con la siguiente fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Paso 8.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\frac{\sqrt{{(6)}^{2} - {(2 \sqrt{5})}^{2}}}{6}$

Paso 8.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.1.1

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{36 - {(2 \sqrt{5})}^{2}}}{6}$

Paso 8.3.1.2

Aplica la regla del producto a $2 \sqrt{5}$ .

$\frac{\sqrt{36 - (2^{2} {\sqrt{5}}^{2})}}{6}$

Paso 8.3.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{36 - (4 {\sqrt{5}}^{2})}}{6}$

Paso 8.3.1.4

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{36 - (4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2})}}{6}$

Paso 8.3.1.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{36 - (4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2})}}{6}$

Paso 8.3.1.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{36 - (4 \cdot 5^{\frac{2}{2}})}}{6}$

Paso 8.3.1.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.1.4.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{36 - (4 \cdot 5^{\frac{2}{2}})}}{6}$

Paso 8.3.1.4.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{36 - (4 \cdot 5^{1})}}{6}$

Paso 8.3.1.4.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\sqrt{36 - (4 \cdot 5)}}{6}$

Paso 8.3.1.5

Multiplica $- (4 \cdot 5)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.1.5.1

Multiplica $4$ por $5$ .

$\frac{\sqrt{36 - 1 \cdot 20}}{6}$

Paso 8.3.1.5.2

Multiplica $- 1$ por $20$ .

$\frac{\sqrt{36 - 20}}{6}$

Paso 8.3.1.6

Resta $20$ de $36$ .

$\frac{\sqrt{16}}{6}$

Paso 8.3.1.7

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{\sqrt{4^{2}}}{6}$

Paso 8.3.1.8

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{4}{6}$

Paso 8.3.2

Cancela el factor común de $4$ y $6$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 (2)}{6}$

Paso 8.3.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}$

Paso 8.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}$

Paso 8.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{3}$

Paso 9

Estos valores representan los valores importantes para la representación gráfica y el análisis de una elipse.

Centro: $(8, - 3)$

${Vertex}_{1}$ : $(14, - 3)$

${Vertex}_{2}$ : $(2, - 3)$

${Focus}_{1}$ : $(12, - 3)$

${Focus}_{2}$ : $(4, - 3)$

Excentricidad: $\frac{2}{3}$

Paso 10