Precálculo Ejemplos

$x = 20 y^{2} - 120 y + 60$

Paso 1

Como $y$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$20 y^{2} - 120 y + 60 = x$

Paso 2

Resta $60$ de ambos lados de la ecuación.

$20 y^{2} - 120 y = x - 60$

Paso 3

Completa el cuadrado.

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Paso 3.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 20$

$b = - 120$

$c = 0 = x - 60$

Paso 3.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e = x - 60$

Paso 3.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 3.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 120}{2 \cdot 20}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $- 120$ y $2$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 120$ .

$d = \frac{2 \cdot - 60}{2 \cdot 20}$

Paso 3.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 20$ .

$d = \frac{2 \cdot - 60}{2 (20)}$

Paso 3.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 60}{2 \cdot 20}$

Paso 3.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 60}{20}$

Paso 3.3.2.2

Cancela el factor común de $- 60$ y $20$ .

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Paso 3.3.2.2.1

Factoriza $20$ de $- 60$ .

$d = \frac{20 \cdot - 3}{20}$

Paso 3.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.2.2.2.1

Factoriza $20$ de $20$ .

$d = \frac{20 \cdot - 3}{20 (1)}$

Paso 3.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{20 \cdot - 3}{20 \cdot 1}$

Paso 3.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 3}{1}$

Paso 3.3.2.2.2.4

Divide $- 3$ por $1$ .

$d = - 3$

Paso 3.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 3.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 120)}^{2}}{4 \cdot 20}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.2.1.1

Eleva $- 120$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{14400}{4 \cdot 20}$

Paso 3.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $20$ .

$e = 0 - \frac{14400}{80}$

Paso 3.4.2.1.3

Divide $14400$ por $80$ .

$e = 0 - 1 \cdot 180$

Paso 3.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $180$ .

$e = 0 - 180$

Paso 3.4.2.2

Resta $180$ de $0$ .

$e = - 180$

Paso 3.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $20 {(y - 3)}^{2} - 180$ .

$20 {(y - 3)}^{2} - 180 = x - 60$

Paso 4

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.1

Suma $180$ a ambos lados de la ecuación.

$20 {(y - 3)}^{2} = x - 60 + 180$

Paso 4.2

Suma $- 60$ y $180$ .

$20 {(y - 3)}^{2} = x + 120$

Paso 5

Divide cada término en $20 {(y - 3)}^{2} = x + 120$ por $20$ y simplifica.

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Paso 5.1

Divide cada término en $20 {(y - 3)}^{2} = x + 120$ por $20$ .

$\frac{20 {(y - 3)}^{2}}{20} = \frac{x}{20} + \frac{120}{20}$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común de $20$ .

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Paso 5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{20 {(y - 3)}^{2}}{20} = \frac{x}{20} + \frac{120}{20}$

Paso 5.2.1.2

Divide ${(y - 3)}^{2}$ por $1$ .

${(y - 3)}^{2} = \frac{x}{20} + \frac{120}{20}$

Paso 5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.1

Divide $120$ por $20$ .

${(y - 3)}^{2} = \frac{x}{20} + 6$

Paso 6

Factoriza.

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Paso 6.1

Para escribir $6$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{20}{20}$ .

${(y - 3)}^{2} = \frac{x}{20} + 6 \cdot \frac{20}{20}$

Paso 6.2

Combina $6$ y $\frac{20}{20}$ .

${(y - 3)}^{2} = \frac{x}{20} + \frac{6 \cdot 20}{20}$

Paso 6.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

${(y - 3)}^{2} = \frac{x + 6 \cdot 20}{20}$

Paso 6.4

Multiplica $6$ por $20$ .

${(y - 3)}^{2} = \frac{x + 120}{20}$

Paso 6.5

Reordena los términos.

${(y - 3)}^{2} = \frac{1}{20} (x + 120)$