Precálculo Ejemplos

$y^{2} + 6 y + 9 = 12 - 12 x$

Paso 1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1

Aísla $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1.1

Reescribe la ecuación como $12 - 12 x = y^{2} + 6 y + 9$ .

$12 - 12 x = y^{2} + 6 y + 9$

Paso 1.1.2

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.1.2.1

Resta $12$ de ambos lados de la ecuación.

$- 12 x = y^{2} + 6 y + 9 - 12$

Paso 1.1.2.2

Resta $12$ de $9$ .

$- 12 x = y^{2} + 6 y - 3$

Paso 1.1.3

Divide cada término en $- 12 x = y^{2} + 6 y - 3$ por $- 12$ y simplifica.

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Paso 1.1.3.1

Divide cada término en $- 12 x = y^{2} + 6 y - 3$ por $- 12$ .

$\frac{- 12 x}{- 12} = \frac{y^{2}}{- 12} + \frac{6 y}{- 12} + \frac{- 3}{- 12}$

Paso 1.1.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.3.2.1

Cancela el factor común de $- 12$ .

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Paso 1.1.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 12 x}{- 12} = \frac{y^{2}}{- 12} + \frac{6 y}{- 12} + \frac{- 3}{- 12}$

Paso 1.1.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{y^{2}}{- 12} + \frac{6 y}{- 12} + \frac{- 3}{- 12}$

Paso 1.1.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{y^{2}}{12} + \frac{6 y}{- 12} + \frac{- 3}{- 12}$

Paso 1.1.3.3.1.2

Cancela el factor común de $6$ y $- 12$ .

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Paso 1.1.3.3.1.2.1

Factoriza $6$ de $6 y$ .

$x = - \frac{y^{2}}{12} + \frac{6 (y)}{- 12} + \frac{- 3}{- 12}$

Paso 1.1.3.3.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.3.3.1.2.2.1

Factoriza $6$ de $- 12$ .

$x = - \frac{y^{2}}{12} + \frac{6 y}{6 \cdot - 2} + \frac{- 3}{- 12}$

Paso 1.1.3.3.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$x = - \frac{y^{2}}{12} + \frac{6 y}{6 \cdot - 2} + \frac{- 3}{- 12}$

Paso 1.1.3.3.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$x = - \frac{y^{2}}{12} + \frac{y}{- 2} + \frac{- 3}{- 12}$

Paso 1.1.3.3.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{y^{2}}{12} - \frac{y}{2} + \frac{- 3}{- 12}$

Paso 1.1.3.3.1.4

Cancela el factor común de $- 3$ y $- 12$ .

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Paso 1.1.3.3.1.4.1

Factoriza $- 3$ de $- 3$ .

$x = - \frac{y^{2}}{12} - \frac{y}{2} + \frac{- 3 (1)}{- 12}$

Paso 1.1.3.3.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.3.3.1.4.2.1

Factoriza $- 3$ de $- 12$ .

$x = - \frac{y^{2}}{12} - \frac{y}{2} + \frac{- 3 \cdot 1}{- 3 \cdot 4}$

Paso 1.1.3.3.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$x = - \frac{y^{2}}{12} - \frac{y}{2} + \frac{- 3 \cdot 1}{- 3 \cdot 4}$

Paso 1.1.3.3.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$x = - \frac{y^{2}}{12} - \frac{y}{2} + \frac{1}{4}$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $- \frac{y^{2}}{12} - \frac{y}{2} + \frac{1}{4}$ .

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Paso 1.2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - \frac{1}{12}$

$b = - \frac{1}{2}$

$c = \frac{1}{4}$

Paso 1.2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- \frac{1}{2}}{2 (- \frac{1}{12})}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$d = \frac{\frac{1}{2}}{2 (\frac{1}{12})}$

Paso 1.2.3.2.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{12})}$

Paso 1.2.3.2.3

Combina $2$ y $\frac{1}{12}$ .

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2}{12}}$

Paso 1.2.3.2.4

Cancela el factor común de $2$ y $12$ .

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Paso 1.2.3.2.4.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 (1)}{12}}$

Paso 1.2.3.2.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.2.4.2.1

Factoriza $2$ de $12$ .

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6}}$

Paso 1.2.3.2.4.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6}}$

Paso 1.2.3.2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{6}}$

Paso 1.2.3.2.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = \frac{1}{2} (1 \cdot 6)$

Paso 1.2.3.2.6

Multiplica $6$ por $1$ .

$d = \frac{1}{2} \cdot 6$

Paso 1.2.3.2.7

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.3.2.7.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$d = \frac{1}{2} \cdot (2 (3))$

Paso 1.2.3.2.7.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 3)$

Paso 1.2.3.2.7.3

Reescribe la expresión.

$d = 3$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{1}{4} - \frac{{(- \frac{1}{2})}^{2}}{4 (- \frac{1}{12})}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.4.2.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.4.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{2}$ .

$e = \frac{1}{4} - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}}{4 (- \frac{1}{12})}$

Paso 1.2.4.2.1.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$e = \frac{1}{4} - \frac{1 {(\frac{1}{2})}^{2}}{4 (- \frac{1}{12})}$

Paso 1.2.4.2.1.1.3

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$e = \frac{1}{4} - \frac{1 \frac{1^{2}}{2^{2}}}{4 (- \frac{1}{12})}$

Paso 1.2.4.2.1.1.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$e = \frac{1}{4} - \frac{1 \frac{1}{2^{2}}}{4 (- \frac{1}{12})}$

Paso 1.2.4.2.1.1.5

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$e = \frac{1}{4} - \frac{1 (\frac{1}{4})}{4 (- \frac{1}{12})}$

Paso 1.2.4.2.1.1.6

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$e = \frac{1}{4} - \frac{\frac{1}{4}}{4 (- \frac{1}{12})}$

Paso 1.2.4.2.1.2

Simplifica el denominador.

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Paso 1.2.4.2.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$e = \frac{1}{4} - \frac{\frac{1}{4}}{- 4 (\frac{1}{12})}$

Paso 1.2.4.2.1.2.2

Combina $- 4$ y $\frac{1}{12}$ .

$e = \frac{1}{4} - \frac{\frac{1}{4}}{\frac{- 4}{12}}$

Paso 1.2.4.2.1.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 1.2.4.2.1.3.1

Cancela el factor común de $- 4$ y $12$ .

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Paso 1.2.4.2.1.3.1.1

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$e = \frac{1}{4} - \frac{\frac{1}{4}}{\frac{4 (- 1)}{12}}$

Paso 1.2.4.2.1.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.4.2.1.3.1.2.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$e = \frac{1}{4} - \frac{\frac{1}{4}}{\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 3}}$

Paso 1.2.4.2.1.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$e = \frac{1}{4} - \frac{\frac{1}{4}}{\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 3}}$

Paso 1.2.4.2.1.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$e = \frac{1}{4} - \frac{\frac{1}{4}}{\frac{- 1}{3}}$

Paso 1.2.4.2.1.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e = \frac{1}{4} - \frac{\frac{1}{4}}{- \frac{1}{3}}$

Paso 1.2.4.2.1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e = \frac{1}{4} - (\frac{1}{4} (- 1 \cdot 3))$

Paso 1.2.4.2.1.5

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$e = \frac{1}{4} - (\frac{1}{4} \cdot - 3)$

Paso 1.2.4.2.1.6

Combina $\frac{1}{4}$ y $- 3$ .

$e = \frac{1}{4} - \frac{- 3}{4}$

Paso 1.2.4.2.1.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e = \frac{1}{4} - - \frac{3}{4}$

Paso 1.2.4.2.1.8

Multiplica $- - \frac{3}{4}$ .

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Paso 1.2.4.2.1.8.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e = \frac{1}{4} + 1 (\frac{3}{4})$

Paso 1.2.4.2.1.8.2

Multiplica $\frac{3}{4}$ por $1$ .

$e = \frac{1}{4} + \frac{3}{4}$

Paso 1.2.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e = \frac{1 + 3}{4}$

Paso 1.2.4.2.3

Suma $1$ y $3$ .

$e = \frac{4}{4}$

Paso 1.2.4.2.4

Divide $4$ por $4$ .

$e = 1$

Paso 1.2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- \frac{1}{12} {(y + 3)}^{2} + 1$ .

$- \frac{1}{12} {(y + 3)}^{2} + 1$

Paso 1.3

Establece $x$ igual al nuevo lado derecho.

$x = - \frac{1}{12} \cdot {(y + 3)}^{2} + 1$

Paso 2

Usa la forma de vértice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = - \frac{1}{12}$

$h = 1$

$k = - 3$

Paso 3

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(1, - 3)$

Paso 4