Precálculo Ejemplos

$(x^{2} - 1) (x + 5) (x - 3) < 0$

Paso 1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{2} - 1 = 0$

$x + 5 = 0$

$x - 3 = 0$

Paso 2

Establece $x^{2} - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.1

Establece $x^{2} - 1$ igual a $0$ .

$x^{2} - 1 = 0$

Paso 2.2

Resuelve $x^{2} - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 1$

Paso 2.2.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{1}$

Paso 2.2.3

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$x = \pm 1$

Paso 2.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 1$

Paso 2.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 1$

Paso 2.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 1, - 1$

Paso 3

Establece $x + 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.1

Establece $x + 5$ igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Paso 3.2

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 5$

Paso 4

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 4.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x^{2} - 1) (x + 5) (x - 3) < 0$ verdadera.

$x = 1, - 1, - 5, 3$

Paso 6

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 5$

$- 5 < x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$1 < x < 3$

$x > 3$

Paso 7

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 7.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 5$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 7.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 5$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 8$

Paso 7.1.2

Reemplaza $x$ con $- 8$ en la desigualdad original.

$({(- 8)}^{2} - 1) ((- 8) + 5) ((- 8) - 3) < 0$

Paso 7.1.3

$2079$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 7.2

Prueba un valor en el intervalo $- 5 < x < - 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 7.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 5 < x < - 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 3$

Paso 7.2.2

Reemplaza $x$ con $- 3$ en la desigualdad original.

$({(- 3)}^{2} - 1) ((- 3) + 5) ((- 3) - 3) < 0$

Paso 7.2.3

$- 96$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 7.3

Prueba un valor en el intervalo $- 1 < x < 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 7.3.1

Elije un valor en el intervalo $- 1 < x < 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 7.3.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$({(0)}^{2} - 1) ((0) + 5) ((0) - 3) < 0$

Paso 7.3.3

$15$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 7.4

Prueba un valor en el intervalo $1 < x < 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 7.4.1

Elije un valor en el intervalo $1 < x < 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2$

Paso 7.4.2

Reemplaza $x$ con $2$ en la desigualdad original.

$({(2)}^{2} - 1) ((2) + 5) ((2) - 3) < 0$

Paso 7.4.3

$- 21$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 7.5

Prueba un valor en el intervalo $x > 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 7.5.1

Elije un valor en el intervalo $x > 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 6$

Paso 7.5.2

Reemplaza $x$ con $6$ en la desigualdad original.

$({(6)}^{2} - 1) ((6) + 5) ((6) - 3) < 0$

Paso 7.5.3

$1155$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 7.6

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 5$ Falso

$- 5 < x < - 1$ Verdadero

$- 1 < x < 1$ Falso

$1 < x < 3$ Verdadero

$x > 3$ Falso

$x < - 5$ Falso

$- 5 < x < - 1$ Verdadero

$- 1 < x < 1$ Falso

$1 < x < 3$ Verdadero

$x > 3$ Falso

Paso 8

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 5 < x < - 1$ o $1 < x < 3$

Paso 9

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(- 5, - 1) \cup (1, 3)$

Paso 10