Precálculo Ejemplos

$\frac{50 - 7 x}{x^{3} - 10 x^{2} + 25 x}$

Paso 1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 1.1

Factoriza la fracción.

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Paso 1.1.1

Factoriza $x$ de $x^{3} - 10 x^{2} + 25 x$ .

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Paso 1.1.1.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{50 - 7 x}{x \cdot x^{2} - 10 x^{2} + 25 x}$

Paso 1.1.1.2

Factoriza $x$ de $- 10 x^{2}$ .

$\frac{50 - 7 x}{x \cdot x^{2} + x (- 10 x) + 25 x}$

Paso 1.1.1.3

Factoriza $x$ de $25 x$ .

$\frac{50 - 7 x}{x \cdot x^{2} + x (- 10 x) + x \cdot 25}$

Paso 1.1.1.4

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{2} + x (- 10 x)$ .

$\frac{50 - 7 x}{x (x^{2} - 10 x) + x \cdot 25}$

Paso 1.1.1.5

Factoriza $x$ de $x (x^{2} - 10 x) + x \cdot 25$ .

$\frac{50 - 7 x}{x (x^{2} - 10 x + 25)}$

Paso 1.1.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 1.1.2.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{50 - 7 x}{x (x^{2} - 10 x + 5^{2})}$

Paso 1.1.2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Paso 1.1.2.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{50 - 7 x}{x (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2})}$

Paso 1.1.2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 5$ .

$\frac{50 - 7 x}{x {(x - 5)}^{2}}$

Paso 1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 1.3

$\frac{A}{x} + \frac{B}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{C}{x - 5}$

Paso 1.4

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $x {(x - 5)}^{2}$ .

$\frac{(50 - 7 x) (x {(x - 5)}^{2})}{x {(x - 5)}^{2}} = \frac{A (x {(x - 5)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 5)}^{2})}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 5)}^{2})}{x - 5}$

Paso 1.5

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{(50 - 7 x) (x {(x - 5)}^{2})}{x {(x - 5)}^{2}} = \frac{A (x {(x - 5)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 5)}^{2})}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 5)}^{2})}{x - 5}$

Paso 1.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(50 - 7 x) ({(x - 5)}^{2})}{{(x - 5)}^{2}} = \frac{A (x {(x - 5)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 5)}^{2})}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 5)}^{2})}{x - 5}$

Paso 1.6

Cancela el factor común de ${(x - 5)}^{2}$ .

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Paso 1.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{(50 - 7 x) {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}} = \frac{A (x {(x - 5)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 5)}^{2})}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 5)}^{2})}{x - 5}$

Paso 1.6.2

Divide $50 - 7 x$ por $1$ .

$50 - 7 x = \frac{A (x {(x - 5)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 5)}^{2})}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 5)}^{2})}{x - 5}$

Paso 1.7

Reordena $50$ y $- 7 x$ .

$- 7 x + 50 = \frac{A (x {(x - 5)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 5)}^{2})}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 5)}^{2})}{x - 5}$

Paso 1.8

Simplifica cada término.

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Paso 1.8.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.8.1.1

Cancela el factor común.

$- 7 x + 50 = \frac{A (x {(x - 5)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 5)}^{2})}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 5)}^{2})}{x - 5}$

Paso 1.8.1.2

Divide $A ({(x - 5)}^{2})$ por $1$ .

$- 7 x + 50 = A ({(x - 5)}^{2}) + \frac{(B) (x {(x - 5)}^{2})}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 5)}^{2})}{x - 5}$

Paso 1.8.2

Reescribe ${(x - 5)}^{2}$ como $(x - 5) (x - 5)$ .

$- 7 x + 50 = A ((x - 5) (x - 5)) + \frac{(B) (x {(x - 5)}^{2})}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 5)}^{2})}{x - 5}$

Paso 1.8.3

Expande $(x - 5) (x - 5)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.8.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 7 x + 50 = A (x (x - 5) - 5 (x - 5)) + \frac{(B) (x {(x - 5)}^{2})}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 5)}^{2})}{x - 5}$

Paso 1.8.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- 7 x + 50 = A (x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 (x - 5)) + \frac{(B) (x {(x - 5)}^{2})}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 5)}^{2})}{x - 5}$

Paso 1.8.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- 7 x + 50 = A (x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5) + \frac{(B) (x {(x - 5)}^{2})}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 5)}^{2})}{x - 5}$

Paso 1.8.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.8.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.8.4.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$- 7 x + 50 = A (x^{2} + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5) + \frac{(B) (x {(x - 5)}^{2})}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 5)}^{2})}{x - 5}$

Paso 1.8.4.1.2

Mueve $- 5$ a la izquierda de $x$ .

$- 7 x + 50 = A (x^{2} - 5 \cdot x - 5 x - 5 \cdot - 5) + \frac{(B) (x {(x - 5)}^{2})}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 5)}^{2})}{x - 5}$

Paso 1.8.4.1.3

Multiplica $- 5$ por $- 5$ .

$- 7 x + 50 = A (x^{2} - 5 x - 5 x + 25) + \frac{(B) (x {(x - 5)}^{2})}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 5)}^{2})}{x - 5}$

Paso 1.8.4.2

Resta $5 x$ de $- 5 x$ .

$- 7 x + 50 = A (x^{2} - 10 x + 25) + \frac{(B) (x {(x - 5)}^{2})}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 5)}^{2})}{x - 5}$

Paso 1.8.5

Aplica la propiedad distributiva.

$- 7 x + 50 = A x^{2} + A (- 10 x) + A \cdot 25 + \frac{(B) (x {(x - 5)}^{2})}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 5)}^{2})}{x - 5}$

Paso 1.8.6

Simplifica.

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Paso 1.8.6.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- 7 x + 50 = A x^{2} - 10 A x + A \cdot 25 + \frac{(B) (x {(x - 5)}^{2})}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 5)}^{2})}{x - 5}$

Paso 1.8.6.2

Mueve $25$ a la izquierda de $A$ .

$- 7 x + 50 = A x^{2} - 10 A x + 25 \cdot A + \frac{(B) (x {(x - 5)}^{2})}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 5)}^{2})}{x - 5}$

Paso 1.8.7

Cancela el factor común de ${(x - 5)}^{2}$ .

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Paso 1.8.7.1

Cancela el factor común.

$- 7 x + 50 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + \frac{B (x {(x - 5)}^{2})}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 5)}^{2})}{x - 5}$

Paso 1.8.7.2

Divide $(B) (x)$ por $1$ .

$- 7 x + 50 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + (B) (x) + \frac{(C) (x {(x - 5)}^{2})}{x - 5}$

Paso 1.8.8

Cancela el factor común de ${(x - 5)}^{2}$ y $x - 5$ .

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Paso 1.8.8.1

Factoriza $x - 5$ de $(C) (x {(x - 5)}^{2})$ .

$- 7 x + 50 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + B x + \frac{(x - 5) (C (x (x - 5)))}{x - 5}$

Paso 1.8.8.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.8.8.2.1

Multiplica por $1$ .

$- 7 x + 50 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + B x + \frac{(x - 5) (C (x (x - 5)))}{(x - 5) \cdot 1}$

Paso 1.8.8.2.2

Cancela el factor común.

$- 7 x + 50 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + B x + \frac{(x - 5) (C (x (x - 5)))}{(x - 5) \cdot 1}$

Paso 1.8.8.2.3

Reescribe la expresión.

$- 7 x + 50 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + B x + \frac{C (x (x - 5))}{1}$

Paso 1.8.8.2.4

Divide $C (x (x - 5))$ por $1$ .

$- 7 x + 50 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + B x + C (x (x - 5))$

Paso 1.8.9

Aplica la propiedad distributiva.

$- 7 x + 50 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + B x + C (x \cdot x + x \cdot - 5)$

Paso 1.8.10

Multiplica $x$ por $x$ .

$- 7 x + 50 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + B x + C (x^{2} + x \cdot - 5)$

Paso 1.8.11

Mueve $- 5$ a la izquierda de $x$ .

$- 7 x + 50 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + B x + C (x^{2} - 5 \cdot x)$

Paso 1.8.12

Aplica la propiedad distributiva.

$- 7 x + 50 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + B x + C x^{2} + C (- 5 x)$

Paso 1.8.13

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- 7 x + 50 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + B x + C x^{2} - 5 C x$

Paso 1.9

Simplifica la expresión.

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Paso 1.9.1

Mueve $A$ .

$- 7 x + 50 = A x^{2} - 10 x A + 25 A + B x + C x^{2} - 5 C x$

Paso 1.9.2

Reordena $B$ y $x$ .

$- 7 x + 50 = A x^{2} - 10 x A + 25 A + B x + C x^{2} - 5 C x$

Paso 1.9.3

Mueve $25 A$ .

$- 7 x + 50 = A x^{2} - 10 x A + B x + C x^{2} - 5 C x + 25 A$

Paso 1.9.4

Mueve $B x$ .

$- 7 x + 50 = A x^{2} - 10 x A + C x^{2} + B x - 5 C x + 25 A$

Paso 1.9.5

Mueve $- 10 x A$ .

$- 7 x + 50 = A x^{2} + C x^{2} - 10 x A + B x - 5 C x + 25 A$

Paso 2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x^{2}$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = A + C$

Paso 2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$- 7 = - 10 A + B - 5 C$

Paso 2.3

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$50 = 25 A$

Paso 2.4

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$0 = A + C$

$- 7 = - 10 A + B - 5 C$

$50 = 25 A$

$0 = A + C$

$- 7 = - 10 A + B - 5 C$

$50 = 25 A$

Paso 3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 3.1

Resuelve $A$ en $50 = 25 A$ .

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Paso 3.1.1

Reescribe la ecuación como $25 A = 50$ .

$25 A = 50$

$0 = A + C$

$- 7 = - 10 A + B - 5 C$

Paso 3.1.2

Divide cada término en $25 A = 50$ por $25$ y simplifica.

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Paso 3.1.2.1

Divide cada término en $25 A = 50$ por $25$ .

$\frac{25 A}{25} = \frac{50}{25}$

$0 = A + C$

$- 7 = - 10 A + B - 5 C$

Paso 3.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.2.2.1

Cancela el factor común de $25$ .

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Paso 3.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{25 A}{25} = \frac{50}{25}$

$0 = A + C$

$- 7 = - 10 A + B - 5 C$

Paso 3.1.2.2.1.2

Divide $A$ por $1$ .

$A = \frac{50}{25}$

$0 = A + C$

$- 7 = - 10 A + B - 5 C$

$A = \frac{50}{25}$

$0 = A + C$

$- 7 = - 10 A + B - 5 C$

$A = \frac{50}{25}$

$0 = A + C$

$- 7 = - 10 A + B - 5 C$

Paso 3.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1.2.3.1

Divide $50$ por $25$ .

$A = 2$

$0 = A + C$

$- 7 = - 10 A + B - 5 C$

$A = 2$

$0 = A + C$

$- 7 = - 10 A + B - 5 C$

$A = 2$

$0 = A + C$

$- 7 = - 10 A + B - 5 C$

$A = 2$

$0 = A + C$

$- 7 = - 10 A + B - 5 C$

Paso 3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $2$ en cada ecuación.

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Paso 3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $0 = A + C$ por $2$ .

$0 = (2) + C$

$A = 2$

$- 7 = - 10 A + B - 5 C$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Elimina los paréntesis.

$0 = 2 + C$

$A = 2$

$- 7 = - 10 A + B - 5 C$

$0 = 2 + C$

$A = 2$

$- 7 = - 10 A + B - 5 C$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $A$ en $- 7 = - 10 A + B - 5 C$ por $2$ .

$- 7 = - 10 \cdot 2 + B - 5 C$

$0 = 2 + C$

$A = 2$

Paso 3.2.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.4.1

Multiplica $- 10$ por $2$ .

$- 7 = - 20 + B - 5 C$

$0 = 2 + C$

$A = 2$

$- 7 = - 20 + B - 5 C$

$0 = 2 + C$

$A = 2$

$- 7 = - 20 + B - 5 C$

$0 = 2 + C$

$A = 2$

Paso 3.3

Resuelve $C$ en $0 = 2 + C$ .

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $2 + C = 0$ .

$2 + C = 0$

$- 7 = - 20 + B - 5 C$

$A = 2$

Paso 3.3.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$C = - 2$

$- 7 = - 20 + B - 5 C$

$A = 2$

$C = - 2$

$- 7 = - 20 + B - 5 C$

$A = 2$

Paso 3.4

Reemplaza todos los casos de $C$ por $- 2$ en cada ecuación.

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Paso 3.4.1

Reemplaza todos los casos de $C$ en $- 7 = - 20 + B - 5 C$ por $- 2$ .

$- 7 = - 20 + B - 5 \cdot - 2$

$C = - 2$

$A = 2$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.1

Simplifica $- 20 + B - 5 \cdot - 2$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Multiplica $- 5$ por $- 2$ .

$- 7 = - 20 + B + 10$

$C = - 2$

$A = 2$

Paso 3.4.2.1.2

Suma $- 20$ y $10$ .

$- 7 = B - 10$

$C = - 2$

$A = 2$

$- 7 = B - 10$

$C = - 2$

$A = 2$

$- 7 = B - 10$

$C = - 2$

$A = 2$

$- 7 = B - 10$

$C = - 2$

$A = 2$

Paso 3.5

Resuelve $B$ en $- 7 = B - 10$ .

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Paso 3.5.1

Reescribe la ecuación como $B - 10 = - 7$ .

$B - 10 = - 7$

$C = - 2$

$A = 2$

Paso 3.5.2

Mueve todos los términos que no contengan $B$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.5.2.1

Suma $10$ a ambos lados de la ecuación.

$B = - 7 + 10$

$C = - 2$

$A = 2$

Paso 3.5.2.2

Suma $- 7$ y $10$ .

$B = 3$

$C = - 2$

$A = 2$

$B = 3$

$C = - 2$

$A = 2$

$B = 3$

$C = - 2$

$A = 2$

Paso 3.6

Resuelve el sistema de ecuaciones.

$B = 3 C = - 2 A = 2$

Paso 3.7

Enumera todas las soluciones.

$B = 3, C = - 2, A = 2$

Paso 4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{x} + \frac{B}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{C}{x - 5}$ con los valores obtenidos para $A$ , $B$ y $C$ .

$\frac{2}{x} + \frac{3}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{- 2}{x - 5}$