Precálculo Ejemplos

$t^{\frac{1}{2}} + 3 t^{\frac{1}{4}} + 2 = 0$

Paso 1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Reescribe $t^{\frac{1}{2}}$ como ${(t^{\frac{1}{4}})}^{2}$ .

${(t^{\frac{1}{4}})}^{2} + 3 t^{\frac{1}{4}} + 2 = 0$

Paso 1.2

Sea $u = t^{\frac{1}{4}}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $t^{\frac{1}{4}}$ .

$u^{2} + 3 u + 2 = 0$

Paso 1.3

Factoriza $u^{2} + 3 u + 2$ con el método AC.

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Paso 1.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $2$ y cuya suma es $3$ .

$1, 2$

Paso 1.3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u + 1) (u + 2) = 0$

Paso 1.4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $t^{\frac{1}{4}}$ .

$(t^{\frac{1}{4}} + 1) (t^{\frac{1}{4}} + 2) = 0$

Paso 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$t^{\frac{1}{4}} + 1 = 0$

$t^{\frac{1}{4}} + 2 = 0$

Paso 3

Establece $t^{\frac{1}{4}} + 1$ igual a $0$ y resuelve $t$ .

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Paso 3.1

Establece $t^{\frac{1}{4}} + 1$ igual a $0$ .

$t^{\frac{1}{4}} + 1 = 0$

Paso 3.2

Resuelve $t^{\frac{1}{4}} + 1 = 0$ en $t$ .

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Paso 3.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$t^{\frac{1}{4}} = - 1$

Paso 3.2.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $4$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(t^{\frac{1}{4}})}^{4} = {(- 1)}^{4}$

Paso 3.2.3

Simplifica el exponente.

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Paso 3.2.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.3.1.1

Simplifica ${(t^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Paso 3.2.3.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(t^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Paso 3.2.3.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$t^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(- 1)}^{4}$

Paso 3.2.3.1.1.1.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.2.3.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$t^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(- 1)}^{4}$

Paso 3.2.3.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$t^{1} = {(- 1)}^{4}$

Paso 3.2.3.1.1.2

Simplifica.

$t = {(- 1)}^{4}$

Paso 3.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$t = 1$

Paso 4

Establece $t^{\frac{1}{4}} + 2$ igual a $0$ y resuelve $t$ .

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Paso 4.1

Establece $t^{\frac{1}{4}} + 2$ igual a $0$ .

$t^{\frac{1}{4}} + 2 = 0$

Paso 4.2

Resuelve $t^{\frac{1}{4}} + 2 = 0$ en $t$ .

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Paso 4.2.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$t^{\frac{1}{4}} = - 2$

Paso 4.2.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $4$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(t^{\frac{1}{4}})}^{4} = {(- 2)}^{4}$

Paso 4.2.3

Simplifica el exponente.

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Paso 4.2.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.3.1.1

Simplifica ${(t^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Paso 4.2.3.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(t^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Paso 4.2.3.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$t^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(- 2)}^{4}$

Paso 4.2.3.1.1.1.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 4.2.3.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$t^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(- 2)}^{4}$

Paso 4.2.3.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$t^{1} = {(- 2)}^{4}$

Paso 4.2.3.1.1.2

Simplifica.

$t = {(- 2)}^{4}$

Paso 4.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.3.2.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $4$ .

$t = 16$

Paso 5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(t^{\frac{1}{4}} + 1) (t^{\frac{1}{4}} + 2) = 0$ verdadera.

$t = 1, 16$

Paso 6

Excluye las soluciones que no hagan que $t^{\frac{1}{2}} + 3 t^{\frac{1}{4}} + 2 = 0$ sea verdadera.

$No hay solución$