Precálculo Ejemplos

$2 y^{2} - 15 x - 4 y - 28 = 0$

Paso 1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1

Aísla $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1.1

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.1.1.1

Resta $2 y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$- 15 x - 4 y - 28 = - 2 y^{2}$

Paso 1.1.1.2

Suma $4 y$ a ambos lados de la ecuación.

$- 15 x - 28 = - 2 y^{2} + 4 y$

Paso 1.1.1.3

Suma $28$ a ambos lados de la ecuación.

$- 15 x = - 2 y^{2} + 4 y + 28$

Paso 1.1.2

Divide cada término en $- 15 x = - 2 y^{2} + 4 y + 28$ por $- 15$ y simplifica.

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Paso 1.1.2.1

Divide cada término en $- 15 x = - 2 y^{2} + 4 y + 28$ por $- 15$ .

$\frac{- 15 x}{- 15} = \frac{- 2 y^{2}}{- 15} + \frac{4 y}{- 15} + \frac{28}{- 15}$

Paso 1.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.2.1

Cancela el factor común de $- 15$ .

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Paso 1.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 15 x}{- 15} = \frac{- 2 y^{2}}{- 15} + \frac{4 y}{- 15} + \frac{28}{- 15}$

Paso 1.1.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 y^{2}}{- 15} + \frac{4 y}{- 15} + \frac{28}{- 15}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.3.1.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x = \frac{2 y^{2}}{15} + \frac{4 y}{- 15} + \frac{28}{- 15}$

Paso 1.1.2.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = \frac{2 y^{2}}{15} - \frac{4 y}{15} + \frac{28}{- 15}$

Paso 1.1.2.3.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = \frac{2 y^{2}}{15} - \frac{4 y}{15} - \frac{28}{15}$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $\frac{2 y^{2}}{15} - \frac{4 y}{15} - \frac{28}{15}$ .

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Paso 1.2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = \frac{2}{15}$

$b = - \frac{4}{15}$

$c = - \frac{28}{15}$

Paso 1.2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- \frac{4}{15}}{2 (\frac{2}{15})}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.2.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = - \frac{4}{15} \cdot \frac{1}{2 (\frac{2}{15})}$

Paso 1.2.3.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.3.2.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{4}{15}$ al numerador.

$d = \frac{- 4}{15} \cdot \frac{1}{2 (\frac{2}{15})}$

Paso 1.2.3.2.2.2

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$d = \frac{2 (- 2)}{15} \cdot \frac{1}{2 (\frac{2}{15})}$

Paso 1.2.3.2.2.3

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{15} \cdot \frac{1}{2 (\frac{2}{15})}$

Paso 1.2.3.2.2.4

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 2}{15} \cdot \frac{1}{\frac{2}{15}}$

Paso 1.2.3.2.3

Multiplica $\frac{- 2}{15}$ por $\frac{1}{\frac{2}{15}}$ .

$d = \frac{- 2}{15 (\frac{2}{15})}$

Paso 1.2.3.2.4

Combina $15$ y $\frac{2}{15}$ .

$d = \frac{- 2}{\frac{15 \cdot 2}{15}}$

Paso 1.2.3.2.5

Multiplica $15$ por $2$ .

$d = \frac{- 2}{\frac{30}{15}}$

Paso 1.2.3.2.6

Cancela el factor común de $30$ y $15$ .

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Paso 1.2.3.2.6.1

Factoriza $15$ de $30$ .

$d = \frac{- 2}{\frac{15 \cdot 2}{15}}$

Paso 1.2.3.2.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.2.6.2.1

Factoriza $15$ de $15$ .

$d = \frac{- 2}{\frac{15 \cdot 2}{15 (1)}}$

Paso 1.2.3.2.6.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{- 2}{\frac{15 \cdot 2}{15 \cdot 1}}$

Paso 1.2.3.2.6.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 2}{\frac{2}{1}}$

Paso 1.2.3.2.6.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$d = \frac{- 2}{2}$

Paso 1.2.3.2.7

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 1.2.3.2.7.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2}$

Paso 1.2.3.2.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.2.7.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

Paso 1.2.3.2.7.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.3.2.7.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 1}{1}$

Paso 1.2.3.2.7.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$d = - 1$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - \frac{28}{15} - \frac{{(- \frac{4}{15})}^{2}}{4 (\frac{2}{15})}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.4.2.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.4.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{4}{15}$ .

$e = - \frac{28}{15} - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{4}{15})}^{2}}{4 (\frac{2}{15})}$

Paso 1.2.4.2.1.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$e = - \frac{28}{15} - \frac{1 {(\frac{4}{15})}^{2}}{4 (\frac{2}{15})}$

Paso 1.2.4.2.1.1.3

Aplica la regla del producto a $\frac{4}{15}$ .

$e = - \frac{28}{15} - \frac{1 \frac{4^{2}}{15^{2}}}{4 (\frac{2}{15})}$

Paso 1.2.4.2.1.1.4

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$e = - \frac{28}{15} - \frac{1 \frac{16}{15^{2}}}{4 (\frac{2}{15})}$

Paso 1.2.4.2.1.1.5

Eleva $15$ a la potencia de $2$ .

$e = - \frac{28}{15} - \frac{1 (\frac{16}{225})}{4 (\frac{2}{15})}$

Paso 1.2.4.2.1.1.6

Multiplica $\frac{16}{225}$ por $1$ .

$e = - \frac{28}{15} - \frac{\frac{16}{225}}{4 (\frac{2}{15})}$

Paso 1.2.4.2.1.2

Combina $4$ y $\frac{2}{15}$ .

$e = - \frac{28}{15} - \frac{\frac{16}{225}}{\frac{4 \cdot 2}{15}}$

Paso 1.2.4.2.1.3

Multiplica $4$ por $2$ .

$e = - \frac{28}{15} - \frac{\frac{16}{225}}{\frac{8}{15}}$

Paso 1.2.4.2.1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e = - \frac{28}{15} - (\frac{16}{225} \cdot \frac{15}{8})$

Paso 1.2.4.2.1.5

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 1.2.4.2.1.5.1

Factoriza $8$ de $16$ .

$e = - \frac{28}{15} - (\frac{8 (2)}{225} \cdot \frac{15}{8})$

Paso 1.2.4.2.1.5.2

Cancela el factor común.

$e = - \frac{28}{15} - (\frac{8 \cdot 2}{225} \cdot \frac{15}{8})$

Paso 1.2.4.2.1.5.3

Reescribe la expresión.

$e = - \frac{28}{15} - (\frac{2}{225} \cdot 15)$

Paso 1.2.4.2.1.6

Cancela el factor común de $15$ .

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Paso 1.2.4.2.1.6.1

Factoriza $15$ de $225$ .

$e = - \frac{28}{15} - (\frac{2}{15 (15)} \cdot 15)$

Paso 1.2.4.2.1.6.2

Cancela el factor común.

$e = - \frac{28}{15} - (\frac{2}{15 \cdot 15} \cdot 15)$

Paso 1.2.4.2.1.6.3

Reescribe la expresión.

$e = - \frac{28}{15} - \frac{2}{15}$

Paso 1.2.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e = \frac{- 28 - 2}{15}$

Paso 1.2.4.2.3

Resta $2$ de $- 28$ .

$e = \frac{- 30}{15}$

Paso 1.2.4.2.4

Divide $- 30$ por $15$ .

$e = - 2$

Paso 1.2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $\frac{2}{15} {(y - 1)}^{2} - 2$ .

$\frac{2}{15} {(y - 1)}^{2} - 2$

Paso 1.3

Establece $x$ igual al nuevo lado derecho.

$x = \frac{2}{15} \cdot {(y - 1)}^{2} - 2$

Paso 2

Usa la forma de vértice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = \frac{2}{15}$

$h = - 2$

$k = 1$

Paso 3

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(- 2, 1)$

Paso 4