Precálculo Ejemplos

$\frac{2 x^{3} + 24 x^{2} + 35 x - 175}{x^{2} + 14 x + 45}$

Paso 1

Obtén dónde la expresión $\frac{2 x^{3} + 24 x^{2} + 35 x - 175}{x^{2} + 14 x + 45}$ no está definida.

$x = - 9, x = - 5$

Paso 2

Como $\frac{2 x^{3} + 24 x^{2} + 35 x - 175}{x^{2} + 14 x + 45}$ $\to$ $- \infty$ a medida que $x$ $\to$ $- 9$ desde la izquierda y $\frac{2 x^{3} + 24 x^{2} + 35 x - 175}{x^{2} + 14 x + 45}$ $\to$ $\infty$ a medida que $x$ $\to$ $- 9$ desde la derecha, entonces $x = - 9$ es una asíntota vertical.

$x = - 9$

Paso 3

Considera la función racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ donde $n$ es el grado del numerador y $m$ es el grado del denominador.

1. Si $n < m$ , entonces el eje x, $y = 0$ , es la asíntota horizontal.

2. Si $n = m$ , entonces la asíntota horizontal es la línea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , entonces no hay asíntota horizontal (hay una asíntota oblicua).

Paso 4

Obtén $n$ y $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Paso 5

Como $n > m$ , no hay asíntota horizontal.

No hay asíntotas horizontales

Paso 6

Obtén la asíntota oblicua mediante la división polinómica.

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Paso 6.1

Factoriza $x^{2} + 14 x + 45$ con el método AC.

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Paso 6.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $45$ y cuya suma es $14$ .

$5, 9$

Paso 6.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{2 x^{3} + 24 x^{2} + 35 x - 175}{(x + 5) (x + 9)}$

Paso 6.2

Expande $(x + 5) (x + 9)$ .

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Paso 6.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{3} + 24 x^{2} + 35 x - 175}{x (x + 9) + 5 (x + 9)}$

Paso 6.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{3} + 24 x^{2} + 35 x - 175}{x \cdot x + x \cdot 9 + 5 (x + 9)}$

Paso 6.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{3} + 24 x^{2} + 35 x - 175}{x \cdot x + x \cdot 9 + 5 x + 5 \cdot 9}$

Paso 6.2.4

Reordena $x$ y $9$ .

$\frac{2 x^{3} + 24 x^{2} + 35 x - 175}{x \cdot x + 9 x + 5 x + 5 \cdot 9}$

Paso 6.2.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 24 x^{2} + 35 x - 175}{x \cdot x + 9 x + 5 x + 5 \cdot 9}$

Paso 6.2.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 24 x^{2} + 35 x - 175}{x \cdot x + 9 x + 5 x + 5 \cdot 9}$

Paso 6.2.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 x^{3} + 24 x^{2} + 35 x - 175}{x^{1 + 1} + 9 x + 5 x + 5 \cdot 9}$

Paso 6.2.8

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 24 x^{2} + 35 x - 175}{x^{2} + 9 x + 5 x + 5 \cdot 9}$

Paso 6.2.9

Multiplica $5$ por $9$ .

$\frac{2 x^{3} + 24 x^{2} + 35 x - 175}{x^{2} + 9 x + 5 x + 45}$

Paso 6.2.10

Suma $9 x$ y $5 x$ .

$\frac{2 x^{3} + 24 x^{2} + 35 x - 175}{x^{2} + 14 x + 45}$

Paso 6.3

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x^{2}$

$14 x$

$45$

$2 x^{3}$

$24 x^{2}$

$35 x$

$175$

Paso 6.4

Divide el término de mayor orden en el dividendo $2 x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x^{2}$ .

$2 x$

$x^{2}$

$14 x$

$45$

$2 x^{3}$

$24 x^{2}$

$35 x$

$175$

Paso 6.5

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$2 x$

$x^{2}$

$14 x$

$45$

$2 x^{3}$

$24 x^{2}$

$35 x$

$175$

$2 x^{3}$

$28 x^{2}$

$90 x$

Paso 6.6

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $2 x^{3} + 28 x^{2} + 90 x$ .

$2 x$

$x^{2}$

$14 x$

$45$

$2 x^{3}$

$24 x^{2}$

$35 x$

$175$

$2 x^{3}$

$28 x^{2}$

$90 x$

Paso 6.7

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$2 x$

$x^{2}$

$14 x$

$45$

$2 x^{3}$

$24 x^{2}$

$35 x$

$175$

$2 x^{3}$

$28 x^{2}$

$90 x$

$4 x^{2}$

$55 x$

Paso 6.8

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

						$2 x$
$x^{2}$	+	$14 x$	+	$45$		$2 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$175$
					-	$2 x^{3}$	-	$28 x^{2}$	-	$90 x$
							-	$4 x^{2}$	-	$55 x$	-	$175$

Paso 6.9

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 4 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x^{2}$ .

						$2 x$	-	$4$
$x^{2}$	+	$14 x$	+	$45$		$2 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$175$
					-	$2 x^{3}$	-	$28 x^{2}$	-	$90 x$
							-	$4 x^{2}$	-	$55 x$	-	$175$

Paso 6.10

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

						$2 x$	-	$4$
$x^{2}$	+	$14 x$	+	$45$		$2 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$175$
					-	$2 x^{3}$	-	$28 x^{2}$	-	$90 x$
							-	$4 x^{2}$	-	$55 x$	-	$175$
							-	$4 x^{2}$	-	$56 x$	-	$180$

Paso 6.11

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 4 x^{2} - 56 x - 180$ .

$2 x$

$4$

$x^{2}$

$14 x$

$45$

$2 x^{3}$

$24 x^{2}$

$35 x$

$175$

$2 x^{3}$

$28 x^{2}$

$90 x$

$4 x^{2}$

$55 x$

$175$

$4 x^{2}$

$56 x$

$180$

Paso 6.12

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$2 x$

$4$

$x^{2}$

$14 x$

$45$

$2 x^{3}$

$24 x^{2}$

$35 x$

$175$

$2 x^{3}$

$28 x^{2}$

$90 x$

$4 x^{2}$

$55 x$

$175$

$4 x^{2}$

$56 x$

$180$

$x$

$5$

Paso 6.13

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$2 x - 4 + \frac{x + 5}{x^{2} + 14 x + 45}$

Paso 6.14

La asíntota oblicua es la parte polinómica del resultado de la división larga.

$y = 2 x - 4$

Paso 7

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

Asíntotas verticales: $x = - 9$

No hay asíntotas horizontales

Asíntotas oblicuas: $y = 2 x - 4$

Paso 8